Оглавление:
Пусть задана функция 
, непрерывная на промежутке 
. Если существует конечный предел 
, то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают 
.
Таким образом, по определению 
.
Если найденный предел равен конечному числу, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Геометрический смысл несобственного интеграла I рода заключается в следующем: если сходится (при условии, что 
), то он представляет собой площадь «бесконечно длинной» криволинейной трапеции (рис. 24.1).
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом интегрирования для непрерывной на промежутке 
функции: 
.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой: 
, где 
— произвольное число.
Рассмотрим примеры нахождения несобственных интегралов I рода.
Пример №24.1.
Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость: 
.
Решение:
Для нахождения несобственного интеграла с бесконечной верхней границей от непрерывной функции воспользуемся формулой: . Тогда 
. Сначала вычислим интеграл от 
: 
. Получили, что несобственный интеграл расходится.
Ответ: расходится.
Пример №24.2.
Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость: 
.
Решение:
Подынтегральная функция 
непрерывна на промежутке 
. Для нахождения несобственного интеграла I рода с бесконечной нижней границей воспользуемся формулой: . Тогда 
. Вычислим интеграл, содержащийся под знаком предела: 
. Избавимся от знака «минус», поменяв границы интегрирования местами: 
. Получили, что рассматриваемый несобственный интеграл сходится.
Ответ: 
.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения. |
| Понятие несобственного интеграла |
| Несобственные интегралы II рода. |
| Задачи, приводящие к понятию функции нескольких переменных. |
