Во многих процессах и явлениях, встречающихся в природе, в практической деятельности человека, числовые значения одной величины определяются набором из двух, трех и большего количества независимых переменных. При изучении подобных зависимостей используют понятие функции нескольких переменных.
Обратимся к задачам, приводящим собственно к этому понятию.
Задача 1: Если через и
обозначить длины сторон прямоугольника, то его площадь
выражается формулой
. При изменении
и
меняется и площадь
. В этом случае говорят, что площадь
есть функция двух переменных
и
, заданная формулой
.
Задача 2: Дальность полета тела, брошенного с начальной скоростью
под углом
к горизонту, также является функцией двух переменных
и
и задастся формулой
, где
— ускорение силы тяжести.
Задача 3: Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны
,
и
, является функцией трех переменных
,
и
и задастся формулой
.
Задача 4: При изучении свойств нагретого тела его температура рассматривается обычно переменной величиной, зависящей от точки, в которой измеряется температура, и от момента времени, в который проводится измерение.
Если точка имеет координаты , тогда зависимость температуры
от координат точки и момента времени
обозначается следующим образом:
, то сеть температура
является функцией четырех переменных. Переменные
— независимые переменные, они могут принимать любые допустимые значения. Переменная
является зависимой переменной, значения которой определяются значениями независимых переменных
.
В дальнейшем остановимся на подробном изучении функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функции нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Распространение определений и полученных результатов на функции трех и более переменных представляет собой, как правило, лишь технические трудности.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Несобственные интегралы I рода. |
Несобственные интегралы II рода. |
Понятие функции двух действительных переменных. |
Способы задания функции двух действительных переменных. |