Функция называется непрерывной в точке
, если при
предел функции существует и равен ее частному значению в этой точке, т.е. если

Этому определению равносильно следующее:
Функция называется непрерывной в точке
, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение функции
, т.е. если
.
Функция разрывна в точке
: 1) если не существует
, или 2) функция
не определена в точке
, или 3) существует
, но он не равен значению функции в этой точке, т.е.
.
Для того чтобы функция была непрерывной в точке
, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
функция должна быть определена в некоторой — окрестности точки
и в самой точке
;
функция должна иметь одинаковые односторонние пределы, т.е.

односторонние пределы должны быть равны .
Если существует конечный , но
, то точка
называется точкой устранимого разрыва функции.
Точка называется точкой разрыва 1-го рода для
, если существуют конечные односторонние пределы функции
в точке
и

В противном случае имеем точку разрыва 2-го рода.
Скачком функции в точке а называется разность ее односторонних пределов
, если они различны.
В случае функция
непрерывна справа в точке
.
В случае функция
непрерывна слева в точке
.
Функция непрерывна в точке
непрерывна в этой точке слева и справа.
Если и
непрерывны в точке
, то
и
непрерывны в этой точке;
непрерывна в точке
, если
.
Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала.
Любая элементарная функция непрерывна в области определения.
Пример:
Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Решение:
а) При непрерывна при
. Рассмотрим т.
. Вычислим
— точка разрыва 2-го рода.
непрерывна слева в точке
. График функции
изображен на рис. 12.
б) Функция определена при всех значениях
, кроме
. Следовательно,
— точка разрыва. Исследуем ее характер.
Вычислим

Так как , но
, то
— точка неустранимого разрыва 1 -го рода. При
, при
при
непрерывна. График функции
изображен на рис. 13.

в) При
непрерывна в т.
.
— точка устранимого разрыва.
Рассмотрев , т.е. изменив значение
в точке
разрыва, получаем непрерывную функцию. График функции изображен на рис. 14.
г) Поскольку элементарные функции непрерывны на
, то точками разрыва могут быть лишь
и
. Имеем

Значит, в точке функция
непрерывна. Аналогично,
. Тогда в точке
функция имеет разрыв первого рода с величиной скачка
. График функции
изображен на рис 15 .

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы: