Оглавление:
Непрерывность функции
Первое определение непрерывности
Функция , определенная в окрестности точки
, называется непрерывной в точке
, если существует предел функции при
и он равен значению функции в этой точке:

Из определения предела следует, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
:


где — приращение аргумента;
— приращение функции. Пример графика функции
, непрерывной в точке
показан на рис. 3.3.
Второе определение непрерывности
Функция , определенная в окрестности точки
, называется непрерывной в точке
, если существуют односторонние пределы функции при
и они равны значению функции в этой точке:

Свойства функций, непрерывных в точке
- Если функции
и
непрерывны в точке
, то непрерывными в этой точке являются и функции:
при условии, что
- Если функция
непрерывна в точке
, а функция
непрерывна в точке
, то сложная функция
также непрерывна в точке
.
Функция называется непрерывной на интервале
, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция
называется непрерывной на отрезке
если она непрерывна в каждой внутренней точке соответствующего интервала, а на концах отрезка непрерывность определяется односторонними пределами:

Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях аргумента , для которых они определены. Более того, всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Заметим, что основными элементарными функциями считаются: степенные
, показательные
, логарифмические
, тригонометрические
и обратные тригонометрические
функции. Свойства основных элементарных функций описаны в приложении В.8. При этом элементарной называется всякая функция, которую можно задать одной формулой с применением конечного числа арифметических действий и суперпозиций (операций образования сложной функции) над основными элементарными функциями.

Величины и
называются наибольшим и наименьшим значениями функции
на отрезке
, если на этом отрезке существуют такие значения аргумента функции
и
, что для всех
верно:

Пример графика функции , непрерывной на отрезке
показан на рис. 3.4.
Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке
, то она ограничена на этом отрезке и достигает на этом отрезке своего наибольшего (
) и наименьшего (
) значений.
Теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке
, то для всякого значения
найдется точка
такая, что
(см. рис. 3.4).
Следствие. Если функция непрерывна на отрезке
и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка
такая, что
.
Точки разрыва. Точки , в которых нарушается хотя бы одно условие непрерывности функции
, называются точками разрыва этой функции.
Все точки разрыва функции разделяются на точки устранимого разрыва первого рода, точки конечного или неустранимого разрыва первого рода и точки бесконечного разрыва или разрыва второго рода.
- Функция
определена в точке
и ее окрестности, существует предел
при
, но этот предел не равен значению функции в предельной точке
при
. В этом случае точку
называют точкой устранимого разрыва первого рода. Например, функция

имеет в точке устранимый разрыв первого рода (см. рис. 3.5, а), так как
, в то же время:

- Функция
определена в точке
и ее окрестности, но не существует предела
при
. так как односторонние пределы в этой точке существуют, но не равны друг другу. В этом случае точку
называют точкой конечного или неустранимого разрыва первого рода. Например, функция

имеет в точке конечный разрыв первого рода (см. рис. 3.5,6). Действительно, функция определена в точке
, однако ее односторонние пределы в этой точке не равны друг другу:


- Функция
определена в окрестности точки
, но не определена в самой точке
. Это происходит когда хотя бы один из односторонних пределов функции
в точке а не существует или равен бесконечности. В этом случае точку
называют точкой бесконечного разрыва или разрыва второго рода. Например, функция

имеет бесконечный разрыв в точке (см. рис. 3.6), так как оба односторонних предела при
равны бесконечности:

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Бесконечно малые и бесконечно большие функции в математике |
Раскрытие неопределённостей в математике |
Асимптоты графика функции в математике |
Определение производной функции в математике |