Определение производной функции
Пусть функция определена на некотором интервале значений аргумента
. Дадим аргументу
приращение
такое, что
и найдем соответствующее приращение функции:

Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента
, при произвольном стремлении последнего к нулю

то он называется производной функции в точке
и обозначается как:

Если функция имеет в некоторой точке
производную, то говорят, что функция дифференцируема в этой точке. Заметим, что дифференцируемость функции
в точке
является достаточным условием для ее непрерывности в этой же точке, в то время как обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, функция
непрерывна в точке
, но не дифференцируема в ней.
Геометрический смысл производной. Производная функции в точке
равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в данной точке:

где — угол наклона касательной к графику функции в данной точке.

Тогда уравнение касательной к графику функции в точке
будет иметь вид

Пример взаимного расположения секущей и касательной к графику функции в точке
показан на рис. 4.1.
Экономический смысл производной. Предположим, что известна зависимость издержек производства однородной продукции от ее количества
. Приращению количества производимой продукции
соответствует приращение издержек производства
. Среднее приращение издержек производства характеризуется отношением
Тогда, если существует предел этого отношения

то его называют предельными издержками производства. С помощью понятия производной в экономике характеризуют и другие предельные понятия.
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Непрерывность функции в математике |
Асимптоты графика функции в математике |
Производные основных элементарных функций в математике |
Дифференциал функции в математике |