Курсовая работа на тему: правило Лопиталя и выпуклость

Оглавление:

В начале этой главы мы вернемся к теме «Пределы» и рассмотрим один из самых удобных и популярных способов вычисления пределов.

Теорема (правило) Лопиталя.

Предположим, что функции и

1) определены, непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки ;

2) ;

3) существует предел .

Тогда существует также и предел , причем

Заметим, что аналогичное утверждение верно и в случае, когда при . Оно называется вторым правилом Лопиталя.

Пример 1.

Найти предел .

Решение. В данном случае . Таким образом, можно воспользоваться основным правилом Лопиталя.

Пример 2.

Найти предел .

Решение. В данном случае при . Таким образом, можно воспользоваться вторым правилом Лопиталя.

Пример 3.

Найти предел .

Решение. После приведения к общему знаменателю заменим множитель в знаменателе на эквивалентный . . Теперь можно применить правило Лопиталя, но придется сделать это три раза, чтобы избавиться от неопределенности.

Вторая производная.

Вторая производная не является принципиально новым понятием — это производная от производной. Производная от второй производной называется третьей производной и так далее.

Пример 4.

Пример 5.

Найти , если . Дифференцируя поочередно, получим, что . Подставляя нужное значение аргумента, получим ответ: .

Если функции и имеют производную порядка , то для производной произведения справедлива формула Лейбница:

Пример 6.

Найти , если .

Решение. Запишем формулу Лейбница: , где . Поскольку любая производная функции совпадает с ней самой, то . Подставляя , получим, что .

Пример 7.

Найти , если .

Решение. Поскольку третья производная функции равна нулю, получим, что , где . Тогда

Найдем производные логарифма:

Таким образом, .

Выпуклые функции.

В этом разделе мы будем с самого начала предполагать, что рассматриваемые функции определены и непрерывны на некотором промежутке.

Определение 1. Непрерывная функция , определенная на промежутке называется выпуклой или выпуклой вниз на этом промежутке, если для любых точек хорда, соединяющая точки и , лежит выше графика функции на участке . Функция называется вогнутой или выпуклой вверх на этом промежутке, если любая хорда лежит ниже графика.

На рисунке справа представлен график функции, выпуклой вверх на отрезке . Здесь и . Множество точек , где образует отрезок (хорду), соединяющий точки и . Условие выпуклости вверх выглядит так: .

Определение 2. Функция , определенная и непрерывная на промежутке называется выпуклой на этом промежутке, если для любых точек выполняется неравенство . Если последнее неравенство является строгим для любых точек , то функция называется строго выпуклой. Если выполняются неравенства противоположного направления, то функция называется вогнутой или выпуклой вверх.

Определение 3. Функция , определенная, непрерывная и дифференцируемая на промежутке называется выпуклой на этом промежутке, если для любой точки касательная к графику, проведенная в этой точке, лежит выше графика.

Теорема об эквивалентности определений выпуклости. На множестве непрерывных на промежутке функций определения 1 и 2 эквивалентны. На множестве дифференцируемых на промежутке функций все три определения эквивалентны.

Критерий выпуклости.

Если функция , определенная и непрерывная на промежутке в каждой точке этого промежутка имеет вторую производную, причем , то функция выпукла. Если неравенство строгое, то функция строго выпукла.