Контрольная работа на тему: теория пределов, непрерывность

Оглавление:

Теория пределов. Непрерывность

Задание: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей.

Целы формирование умения вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности и используя замечательные пределы.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

10.1. Выучите определение предела функции в точке. Выясните, когда при вычислении пределов функции в точке возникает неопределенность вида и в чем заключается техника ее раскрытия.

10.2. Вычислите предел функции в точке:

10.3. Выучите определение предела функции на бесконечности. Выясните, когда при вычислении пределов функции возникает неопределенность вида и в чем заключается техника ее раскрытия.

10.4. Вычислите предел функции на бесконечности:

10.5. Запомните, какие пределы называются замечательными и проанализируйте, как они используются для вычисления пределов.

10.6. Вычислите предел функции с помощью замечательных пределов:

10.7. Вычислите предел функции:

10.8. Выясните, при каком значении параметра будет равен -1; 0.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

1. Предел функции в точке. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .

Число называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого наперед заданного существует такое , что для всех , удовлетворяющих условиям , имеет место неравенство: .

Если есть предел функции при , то пишут: .

При вычислении предела функции в точке удобно использовать следующую технику:

1. Если под знаком предела стоит многочлен, то предел вычисляется простой подстановкой.

Пример 1.

Вычислите: .

Решение:

Подставим в многочлен вместо значение -1, тогда

Ответ: .

2. Если под знаком предела стоит отношение двух многочленов , то проверяем, обращается ли при подстановке знаменатель в ноль. Если не обращается, то предел вычисляется простой подстановкой.

Если при подстановке знаменатель обращается в ноль, то необходимо использовать дополнительные приемы.

Если , то имеем неопределенность вида . В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов и на множители, используя формулы сокращенного умножения и формулу разложения квадратного трехчлена на множители:

, где и — корни уравнения .

Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения предел вычисляется простой подстановкой.

Пример 2.

Вычислите .

Решение:

Проверим, какие значения будут принимать числитель и знаменатель при подстановке вместо значения 3: . Получили неопределенность вида .

Разложим числитель на множители по формуле разложения квадратного трехчлена. Составим уравнение и найдем его корни:

или .

Тогда числитель можно представить в виде произведения двух множителей:

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: .

Вернемся к исходному пределу:

Ответ: .

3. Если под знаком предела стоит дробь вида , включающая иррациональную функцию (функцию, содержащую корень), то домножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному.

Пример 3.

Вычислите .

Решение:

Поскольку при подстановке в числитель и знаменатель вместо значение 0, получаем неопределенность вида , домножим числитель и знаменатель дроби на выражение , сопряженное знаменателю. Получим:

В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов:

Вынесем в знаменателе за скобки и сократим дробь на : .

Видим, что при подстановке числитель и знаменатель не обращаются в 0, следовательно, теперь предел вычисляется простой подстановкой:

Ответ: .

2. Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .

Число называется пределом функции при , если для любого наперед заданного существует такое , что для всех имеет место неравенство: .

Если есть предел функции при , то пишут: .

Для нахождения пределов функций на бесконечности часто используют два основных предела: и , где — константа.

При вычислении предела дроби при возникает неопределенность вида . Техника ее раскрытия заключается в том, что каждое слагаемое числителя и знаменателя нужно разделить на в наивысшей степени. Возможны три случая:

1) наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя:

Пример 4.

Вычислите .

Решение:

Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на . Получим:

Каждое слагаемое стремится к 0 при , тогда

Ответ: .

Итак, если наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя, то в пределе получается число, отличное от нуля.

Пример 5.

Вычислите .

Решение:

Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на . Получим:

Ответ: .

Таким образом, если наивысшая степень числителя больше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается бесконечность.

3) наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя:

Пример 6.

Вычислите .

Решение:

Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на Получим:

Ответ:

Таким образом, если наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается ноль.

3. Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью замечательных.

Вычисление пределов функции можно осуществлять с помощью замечательных пределов:

— первый замечательный предел;

— второй замечательный предел.

Пример 7.

Вычислите .

Решение:

Поскольку под знаком синуса стоит угол , домножим числитель и знаменатель дроби на 3, чтобы выражение под знаком синуса и выражение в знаменателе стали равны: .

Вынесем число 3 за знак предела: .

Применив первый замечательный предел, получим, что .

Ответ: .

Пример 8.

Вычислите .

Решение:

Постараемся преобразовать выражение под знаком предела таким образом, чтобы прийти ко второму замечательному пределу. Необходимо, чтобы числитель дроби был равен 1. Для этого разделим числитель и знаменатель данной дроби на 3; получим дробь вида: . Теперь постараемся преобразовать показатель степени таким образом, чтобы в нем можно было выделить множитель . Для этого домножаем на 2 и 3 и делим на 2 и 3: