Оглавление:
Задание: Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной и обратно.
Цель: формирование умения выполнять переход между различными формами комплексных чисел.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
54.1. Разберите технику перехода от тригонометрической, показательной и алгебраической форм ко всем остальным.
54.2. Закончите высказывания:
а) Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид: 
= …, где … — действительная часть, … -мнимая часть комплексного числа.
б) Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: = …, где 
— …, 
— ….
в) Показательная форма комплексного числа имеет вид: = …, где — …, — ….
г) Алгоритм перехода от алгебраической формы к тригонометрической и показательной включает следующие 4 этапа: …
54.3. Заполните таблицу:
Мы уже знаем, что каждому комплексному числу соответствует точка на плоскости. Возведем число в квадрат — появляется другая точка, еще раз возведем в квадрат (или любую другую степень), появляется новая точка на плоскости. Потом эту простейшую операцию повторим многократно с получающимся каждый раз новым комплексным числом. В зависимости от начального числа могут быть несколько вариантов. Однако при некоторых начальных значениях новые числа группируются внутри какой-либо области, а при отображении их на плоскости появляются невероятные изображения. Это группирование возводимых в квадрат комплексных чисел впервые подметил и описал Жюлиа в 1916 году. Как называются эти удивительно красивые изображения. Вы узнаете, выполнив задание 54.3.
Мы видим геометрическую фигуру, в которой один и тог же мотив повторяется в последовательно уменьшающемся масштабе. Про такие фигуры говорят, что они моделируют сами себя. Такая геометрия тесно связана с теорией хаоса. В природе существует много примеров: от раковины и цветной капусты до гор и листьев. Эта теория нашла широчайшее применение в компьютерной графике.
Карта ответов:
Если Вас заинтересовала данная великолепная математическая теория, Вы можете посмотреть интересные видео в сети Интернет, перейдя по ссылкам:
- http://www.youtube.com/watch?v=b3adw5igSzI;
- http://www.voutube.com/watch?v=CfyOCXpR9Lo&feature=related;
- http://www.youtube.com/watch?v=fr05uRumlNA&feature=relmfu;
- http://www.youtube.com/watch?v=Yke32Oavr 11&feature=related.
54.4. Выполните задания для подготовки к практической работе:
а) решите уравнение: 
;
б) вычислите: 
;
в) вычислите: 
;
г) представьте число в тригонометрической и показательной формах: 
;
д) представьте число в показательной форме: 
. Найдите все 
и постройте их на комплексной плоскости.
54.5. Найдите модуль и аргумент комплексного числа: 
.
Методические указания по выполнению работы:
Итак, существуют три формы записи комплексного числа:
— алгебраическая форма (1);
— тригонометрическая форма (2);
— показательная форма (3).
Переход от тригонометрической и показательной формы
Для того чтобы осуществить переход от тригонометрической формы комплексного числа к показательной и наоборот, достаточно выделить в записи числа значение модуля и аргумента и подставить их в другую форму.
Для того чтобы осуществить переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической, необходимо вычислить значения 
и 
по таблицам значений тригонометрических функций.
Пример 1.
Переведите комплексное число 
в показательную и алгебраическую формы.
Решение:
Выделим в записи числа значение модуля и аргумента : 
. Подставим их в формулу (3): 
— показательная форма.
Для записи заданного комплексного числа в алгебраической форме вычислим 
и 
и подставим их в тригонометрическую форму:
— алгебраическая форма.
Ответ: 
.
Пример 2.
Переведите комплексное число 
в тригонометрическую и алгебраическую формы.
Решение:
Выделим в записи числа значение модуля и аргумента : 
. Подставим их в формулу (2): 
— тригонометрическая форма.
Для записи заданного комплексного числа в алгебраической форме вычислим с использованием формул приведения 
и 
и подставим их в тригонометрическую форму:
— алгебраическая форма.
Ответ: 
.
Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной.
Для того чтобы осуществить переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной, будем использовать следующий алгоритм:
1. Выделите параметры 
и 
в алгебраической форме .
2. Найдите модуль комплексного числа по формуле: 
.
3. Для нахождения аргумента выполните вспомогательный чертеж и определите четверть, в которой расположен вектор 
(а, следовательно, и угол ).
4. В зависимости от четверти, в которой лежит угол , воспользуйтесь одной из следующих формул:
- если
четверти, то 
- если
четверти, то 
- если
четверти, то 
- если
четверти, то 
5. Подставьте найденные значения и в тригонометрическую и показательную формы.
Пример 3.
Переведите комплексное число 
в показательную и тригонометрическую формы.
Решение:
1. Выделим параметры и в алгебраической форме
2. Найдем модуль комплексного числа по формуле :
3. Для нахождения аргумента выполним вспомогательный чертеж (рис. 1). Видим, что полученный вектор образует с положительным направлением оси 
угол 
, следовательно, без применения дополнительных формул делаем вывод, что 
.
4. Так как 
, а , то тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: 
. Показательная форма того же числа равна 
.
Ответ: , .
Пример 4.
Переведите комплексное число 
в показательную и тригонометрическую формы.
Решение:
1. Выделим параметры и в алгебраической форме :
2. Найдем модуль комплексного числа по формуле :
3. Для нахождения аргумента выполним вспомогательный чертеж (рис. 2). Видим, что полученный вектор (а, следовательно, и угол ) расположен во второй четверти.
4. Воспользуемся формулой: если четверти, то 
.
Тогда 
.
5. Так как 
, а 
, то тригонометрическая форма комплексного
числа имеет вид: 
. Показательная форма того же числа равна 
.
Ответ: , .
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
