Оглавление:
Задание: Нахождение неопределённых интегралов методом подстановки.
Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом подстановки.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
23.1. Разберите, какие функции можно считать «некоторыми сложными функциям», какова техника нахождения интеграла от «некоторых сложных функций». Проанализируйте, в чём заключается сущность метода замены переменной в неопределённом интеграле (метода подстановки). Разберите алгоритм нахождения неопределённого интеграла методом подстановки. Ответьте на контрольные вопросы:
- Какие функции мы будем считать «некоторыми сложными»?
- Какова техника нахождения интегралов от «некоторых сложных функций»?
- В чём заключается сущность метода интегрирования подстановкой?
23.2. Найдите интегралы от «некоторых сложных функций»:
23.3. Найдите интегралы методом замены переменной (подстановки):
23.4. Найдите интегралы:
Методические указания no выполнению работы:
Некоторыми сложными функциями будем считать функции вида 
, где 
и 
любые действительные числа, 
— функция, от которой существует табличный интеграл.
Так, 
— примеры некоторых сложных функций. В аргументе этих функций переменная х находится только в первой степени!
Для нахождения интеграла от некоторых сложных функций будем использовать формулу:
или применять следующий алгоритм.
- Проанализируйте, к какому табличному интегралу можно свести данный интеграл.
- Вместо
в табличный интеграл подставьте выражение 
из исходного интеграла. - В правую часть введите дополнительный множитель
, где — коэффициент перед .
Рассмотрим нахождение интеграла от некоторых сложных функций на примерах.
Пример 1.
Найдите 
.
Решение:
Видим, что под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом 
.
В нашем примере в качестве аргумента выступает угол 
. Выделим коэффициент , стоящий перед : 
, следовательно, в правую часть мы должны ввести множитель , то есть 
. Тогда получим, что 
.
Ответ: .
Пример 2.
Найдите 
.
Решение:
Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом 
.
В примере в качестве аргумента выступает выражение 
. Выделим коэффициент , стоящий перед : 
, следовательно, в правую часть вводим множитель (-1). Тогда получим, что 
.
Ответ: .
Пример 3.
Найдите 
.
Решение:
Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом 
.
В примере в качестве аргумента выступает выражение 
. Выделим коэффициент , стоящий перед : 
, следовательно, в правую часть введём множитель 1:0,5=2. Тогда получим, что 
.
Ответ: .
Пример 4.
Найдите 
.
Решение:
Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом 
.
В примере в качестве аргумента выступает выражение 
. Выделим коэффициент , стоящий перед : 
, следовательно, в правую часть введём множитель (-1/3). Тогда получим, что 
.
Ответ: 
.
Сущность метода интегрирования подстановкой заключается в том, что путем введения новой переменной удаётся свести заданный интеграл к новому интегралу, который является табличным.
В основе метода подстановки лежит формула замены переменной в неопределенном интеграле: 
.
Для нахождения неопределенного интеграла методом подстановки (замены переменной) целесообразно использовать следующий алгоритм:
- Введите новую переменную
таким образом, чтобы под знаком интеграла стояла функция, содержащая (от этой функции должен существовать табличный интеграл), и производная . - Найдите
по формуле: 
. - Выразите
через (при этом помните, что если множитель в одной части формулы находился в числителе, то в другую часть он перейдет в знаменатель и наоборот: если множитель находился в знаменателе, то в другую часть он «перейдёт» в числитель). - Подставьте и в исходный интеграл. Если подстановка выполнена верно, то произойдет сокращение одинаковых множителей и интеграл сведется к табличному относительно переменной :
. - Пользуясь таблицей неопределённых интегралов, возьмите полученный интеграл с переменной .
- Перейдите от переменной интегрирования к исходной переменной
.
Рассмотрим применение метода подстановки на конкретных примерах.
Пример 5.
Найдите 
.
Решение:
1. Выполним подстановку 
с целью прийти к интегралу от функции 
.
2. Найдем по формуле 
.
3. Выразим из выражения пункта 2 
.
4. Подставим и в исходный интеграл: 
. Видим, что переменную можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной : 
.
5. Для нахождения полученного интеграла константу вынесем за знак интеграла: 
. По таблице неопределенных интегралов находим, что 
.
6. Поскольку 
.
Ответ: 
.
Пример 6.
Найдите 
.
Решение:
1. Выполним подстановку 
. Тогда под знаком интеграла будет стоять функция от 
и производная 
.
2. Найдем по формуле 
.
3. Выразим из выражения пункта 2 
.
4. Подставим и в исходный интеграл: 
. Видим, что 
можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной 
.
5. По таблице неопределенных интегралов находим, что 
.
6. Поскольку 
.
Ответ: 
.
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
