Для решения некоторых задач действительных чисел может оказаться недостаточно и поэтому возникает необходимость в расширении множества действительных чисел. Попробуем, например, решить уравнение
![](/wp-content/uploads/2020/03/изображение-10118.png)
Действительных решений оно не имеет, однако формально мы можем найти его корни, если введем в рассмотрение символ
![](/wp-content/uploads/2020/03/изображение-10120.png)
который мы назовем мнимой единицей. Тогда из данного уравнения следует, что
![](/wp-content/uploads/2020/03/изображение-10121.png)
Введем теперь следующее важное
Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида
![](/wp-content/uploads/2020/03/изображение-10122.png)
где — действительные числа,
— мнимая единица.
Множество всех комплексных чисел мы обозначим через С.
Для комплексного числа действительные числа и у называются, соответственно, его действительной и мнимой частями. Обозначаются действительная и мнимая части, соответственно, через
. Комплексные числа
называются, соответственно, противоположным и сопряженным к комплексному числу
. Используя эту терминологию можно сказать, иго приведенное выше квадратное уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней
.
Комплексное число, мнимая часть которого равна нулю, т.е. число вида , которое мы будем обозначать через х, отождествляется с действительным числом х и, таким образом, множество действительных чисел R является подмножеством множества комплексных чисел С или, иначе, множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел. Здесь уместно отметить, что « формулированная идея расширения множества действительных чисел до комплексных оказалась чрезвычайно плодотворной как в самой математике, так и в ее приложениях, например, в физике, механике, электротехнике, где аппарат комплексных чисел очень активно используется.
Комплексное число с нулевой действительной частью, а. именно, число , которое мы будем записывать как
, называется чисто мнимым.
Два комплексных числа считаются равными, если действительная и мнимая части одного из них равны, соответственно, действительной и мнимой частям другого.
Чтобы иметь возможность использовать комплексные числа, следует определить алгебраические операции над ними. Этим мы сейчас и займемся.
Пусть — два комплексных числа.
Суммой комплексных чисел называется комплексное число
, которое находится сложением соответствующих выражений:
![](/wp-content/uploads/2020/03/изображение-10136.png)
Тогда разностью этих комплексных чисел называется число .
Произведением комплексных чисел называется комплексное число
. которое мы можем найти, перемножив выражения для данных комплексных чисел и учитывая при этом, что
. В результате получим:
![](/wp-content/uploads/2020/03/изображение-10141.png)
Прямой проверкой мы можем убедиться в том, что операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, сформулированными для действительных чисел (глава IV, §1, свойства 1). 2). 5)). Роль комплексных. единицы и нуля выполняют действительные числа и
.
Чтобы определить операцию деления комплексных чисел, покажем сначала, что для любого существует единственное обратное комплексное число
, т.е. число, для которого выполняется равенство
. Для этого умножим обе части последнего равенства на сопряженное к z комплексное число z. В результате получим:
![](/wp-content/uploads/2020/03/изображение-10147.png)
Так как , следовательно.
![](/wp-content/uploads/2020/03/изображение-10149.png)
Частным от деления числа на число
называется комплексное число
![](/wp-content/uploads/2020/03/изображение-10152.png)
Учитывая приведенное выше представление для обратного комплексного числа, мы можем записать также следующую формулу для вычисления частного:
![](/wp-content/uploads/2020/03/изображение-10153.png)
Целая степень комплексного числа определяется точно также, как и целая степень действительного числа.
Эта лекция взята со страницы онлайн помощи по математическому анализу:
Математический анализ онлайн помощь
Возможно эти страницы вам будут полезны: