Свойства действительных чисел. Основные подмножества множества действительных чисел
На этой странице мы перечислим основные свойства множества R действительных чисел. которыми оно полностью определяется. Многие из этих свойств известны из курса элементарной математики. При изложении мы будем также считать известными простейшие понятия теории множеств и принятые там обозначения.
Сформулируем сначала свойства, касающиеся операций сложения и умножения действительных чисел.
1) Коммутативность: .
2) Ассоциативность —
3) Существуют числа 0 (нуль) и 1 (единица) такие, что для любого
.
4) Для любого существует противоположное ему число —
, для которого
0. Если, кроме того,
, то найдется также число
(обратное данному) такое, что
.
Число называется разностью действительных чисел
и обозначается через
. Аналогично, частным от деления чисел
называется число
которое обозначается через
.
5) Дистрибутивность: .
Теперь остановимся на свойствах упорядоченности множества действительных чисел. Упорядоченность означает, что любые два действительных числа сравнимы, т. е. для них выполняется одно их трех соотношений:
. Число
называется положительным (отрицательным).
6) Транзитивность: из неравенств для действительных чисел
следует неравенство
.
7) Если для любого числа с.
8) Для любых положительных чисел произведение ab также положительно.
Отсюда и из свойств 5) и 7), в частности, следует, что. если , то
.
Укажем еще одно важное свойство множества действительных чисел.
9) Полнота (непрерывность). Пусть А и В — произвольные числовые множества. Если для любых чисел выполняется неравенство
, то существует число-разделитель с такое, что
для всех
.
Например, если множества А и В составляют рациональные числа, квадраты которых меньше и больше 2, соответственно, то разделителем здесь служит число .
Определим теперь основные подмножества множества действительных чисел.
а) Множество натуральных чисел N составляют числа

Такое определение множества натуральных чисел является основой метода математической индукции: если имеется утверждение , зависящее от произвольного натурального номера
, то для его доказательства необходимо проверить его при
, а затем, предположив. что оно верно для всех номеров, не превосходящих
, доказать справедливость утверждения
.
В качестве примера применения метода математической индукции приведем доказательство неравенства Бернулли

которое мы будем использовать в дальнейшем.
Доказательство. Очевидно, при неравенство справедливо. Предположим, что оно верно для номера
. Умножив обе его части на положительное число
, получим

что и требовалось доказать.
b) Множество целых чисел: .
c) Множество рациональных чисел: .
d) Множество иррациональных чисел:
Отметим еще некоторые подмножества множества действительных чисел, которые мы часто будем использовать в дальнейшем. Пусть . Тогда:
e) интервал числовой оси: :
f) отрезок числовой оси: :
g) полуинтервалы числовой оси: . Множества е) — g) называются промежутками числовой оси.
Неограниченный в какую-нибудь сторону промежуток числовой оси называется полуосью или бесконечным промежутком.
Эта лекция взята со страницы онлайн помощи по математическому анализу:
Математический анализ онлайн помощь
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Числовые множества |
Предел последовательности |
Векторная функция действительного аргумента: определение, теорема и доказательство |
Комплексные числа и операции над ними. Разложение полинома на множители |