Оглавление:
Интегралы вида всегда можно преобразовать к интегралам от рациональной дроби с помощью универсальной тригонометрической подстановки
. Тогда
, и

Функции и
выражаются через новую переменную
:

Пример:
Найти интеграл .
Решение:
Преобразуем интеграл, используя формулы (6.12), (6.13).

Универсальная тригонометрическая подстановка приводит к сложным рациональным дробям, когда функции и
присутствуют в степенях выше первой. Поэтому в отдельных частных случаях применяются другие подстановки, которые быстрее приводят к цели.
Частные случаи тригонометрических выражений
1) Интеграл вида приводится к виду
подстановкой
,
.
2) Интеграл вида приводится к виду
подстановкой
,
.
3) Интеграл вида приводится к виду
подстановкой
.
4) В интегралах вида , где показатели степени
— четные, используется подстановка, похожая на универсальную:
.
Тогда .
5) Интегралы вида , где
— целые числа, положительные или отрицательные.
a) Один из показателей степени — нечетное число, например, , где
— целое число. Тогда возможно следующее преобразование:
. Затем
.
b) Показатели степени положительные и четные:

При вычислении интеграла применяются формулы понижения степени

6) Интегралы от произведения тригонометрических функций

вычисляются с использованием формул, которые преобразуют произведение в сумму.
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы: