К понятию определённого интеграла приводят множество прикладных задач:
- вычисление площади криволинейной трапеции;
- вычисление работы, которую совершает переменная сила при перемещении материальной точки из одного положения в другое;
- вычисление объёма произведенной продукции за определенный промежуток времени при переменной производительности труда.
Пусть на отрезке определена функция
(рисунок 7.1). Вычислим площадь фигуры
, коротая ограничена графиком функции
, осью
и прямыми
и
(фигуру
называют криволинейной трапецией). Для этого отрезок
точками
разбиваем на
частей, внутри каждого частичного интервала
выбираем произвольную точку
.

Если принять значение функции в каждом частичном отрезке постоянным и равным , то криволинейная трапеция будет заменена ступенчатой фигурой, площадь которой определяется по формуле
Сумма (7.1) называется интегральной суммой функции на отрезке
, где
— длина частичного интервала. Площадь
приблизительно равна площади криволинейной трапеции
.
Определение. Если существует предел интегральных сумм при условии, что
и длина каждого частичного отрезка стремится к нулю, не зависящий от способа разбиения отрезка
на частичные отрезки и от выбора точек
, то он называется определённым интегралом от функции
в пределах от
до
и обозначается символом

При этом определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции , ограниченной графиком функции
, осью
и прямыми
и
. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла (см. рисунок 7.2).

Название элементов определенного интеграла — знак определенного интеграла, где
— нижний предел,
— верхний предел интегрирования;
— переменная интегрирования;
— дифференциал переменной интегрирования;
— подынтегральная функция;
— подынтегральное выражение.
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Интегрирование тригонометрических функций |
Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок |
Все свойства определённого интеграла |
Формула Ньютона — Лейбница |