Методическое пособие по математическому анализу

Оглавление:

Здравствуйте я подготовила краткое методическое пособие для студентов и школьников, оно содержит теорию и примеры решения, чтобы вы смогли подготовиться к экзаменам или другой любой работе.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Введение в математический анализ

Математический анализ – это обширная область математики с характерным объектом изучения (переменной величиной), своеобразным методом исследования (анализом посредством бесконечно малых или посредством предельных переходов), определенной системой основных понятий (функция, предел, производная, дифференциал, интеграл, ряд) и постоянно совершенствующимся и развивающимся аппаратом, основу которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления.

Предел числовой последовательности. Предел функции

Число называется пределом числовой последовательности , если для любого числа существует такой помер , что при всех выполняется неравенство .

Обозначение предела функции

Число А называется пределом функции в точке , если для любого числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Обозначение предела функции .

Если функции имеют конечные пределы при , то справедливы теоремы о пределах:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет математический анализ

Решение многих задач основано на следующих замечательных пределах:

где

Примеры с решением:

Найти пределы:

9. , так как

, так как

Бесконечно малые и бесконечно большие функции Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация

Функция называется бесконечно малой при , если . Пусть — бесконечно малые при и существует предел их отношения . Если ., называются бесконечно малыми одного порядка малости. Обозначение при . Если с — 1, то называются эквивалентными бесконечно малыми (обозначение: при ). Если , то называется бесконечно малой высшего порядка, чем (обозначение при ).

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если при , то

Пример 5.1.

Найти

Решение:

При функции являются эквивалентными бесконечно малыми. Поэтому

Функция называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа М существует такое число , что при всех удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Обозначение

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) функция определена в точке и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции в точке ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.

На практике часто используют другое определение непрерывности функции в точке, равносильное данному.

Функция называется непрерывной в точке х0, если выполняются условия:

1) функция определена в точке и ее окрестности;

2) существуют конечные односторонние пределы

3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке .

Укажем основные свойства непрерывных функций.

1. Простейшие элементарные функции (, ) непрерывны во всех точках, где они определены.

2. Если функции непрерывны в точке , то и функции непрерывны в точке .

3. Если непрерывна в точке , а непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

4. Если функция непрерывна на отрезке и возрастает (или убывает) на этом отрезке, то обратная функция на соответствующем отрезке оси существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.

Точка , в которой не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.

Если в точке существуют конечные односторонние пределы , такие что ., то называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода. Если , по функция в точке не определена или если, в точке определена, но , то называется точкой устранимого разрыва.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по математическому анализу

Пример 5.2.

Найти точки разрыва функции и определить их вид.

Решение:

Так как функции и непрерывны, то непрерывным будет и их отношение во всех точках, кроме точки . При не определена, следовательно, разрывна. Так как (см. п. 5.1 пример 12), то — точка устранимого разрыва. Если положить , то функция

будет непрерывной при всех .

Пример 5.3.

Установить вид точек разрыва функции

Решение:

Область определения функции — вся числовая ось . Разрывы возможны только в точках и , в которых изменяется аналитическое задание функции. Найдем односторонние пределы в точке и значение функции в этой точке:

Следовательно, в точке функция непрерывна.

Рассмотрим точку :

Так как эти пределы конечны но не равны между собой, то -точка разрыва первого рода. График функции изображен на рис. 5.1.

Пример 5.4.

Установить вид точек разрыва функции

Решение:

Данная функция непрерывна всюду, кроме точки , в которой не определена.

Поскольку

т.е. правосторонний предел бесконечен, то — точка разрыва второго рода.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференцирование функций

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

где .

Производная обозначается .

Правила дифференцирования функций. Пусть С — постоянная, а — дифференцируемые функции. Тогда ,

Производная сложной функции . Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируемая в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке х и ее производная равна

Таблица производных

Функция , неявно задана уравнением , если для всех выполняется равенство .

Для вычисления производной функции, заданной неявно, следует тождество продифференцировать по (рассматривая левую часть как сложную функцию от ), а затем полученное уравнение решить относительно

Пример 6.1.

Найти производную показательно-степенной функции

Решение:

Логарифмируя, а затем дифференцируя левую и правую части, получим

Умножая обе части равенства на у, имеем:

Пример 6.2.

Найти производную функции , заданной неявно уравнением .

Решение:

Дифференцируя по тождество , получим . Выражая из этого равенства, находим:

Дифференциал функции равен произведению ее производной па приращение независимой переменной: или .

При достаточно малых имеет место приближенная формула , т.е. или .

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ помощь онлайн

Пример 6.3.

Найти приближенное значение объема шара, радиус которого равен 1,02 м.

Решение:

Воспользуемся формулой . Тогда . Полагая , получим

Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Производной второго порядка функции называется производная от ее производной , т.е. .

Аналогично определяются производные более высоких порядков .

Дифференциалы высших порядков функции ( — независимая переменная) вычисляются по формулам

Если функция задана параметрически соотношениями , причем , то ее первая и вторая производные находятся по формулам:

Пример 6.4.

Найти выражение для производной -го порядка функции .

Решение:

Пример 6.5.

Найти производную 2-го порядка от функции , заданной неявно уравнением .

Решение:

По правилу дифференцирования функции, заданной неявно, получаем:

Отсюда, используя равенство , имеем:

или

Следовательно, .

Дифференцируя последнее равенство и используя найденное для выражение, получим:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ для 1 курса

Пример 6.6.

Найти производную 2-го порядка функции, заданной параметрически: .

Решение:

Пример 6.7.

Найти дифференциалы 1-го, 2-го, …, -го порядков функции .

Решение:

Приложение теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то существует хотя бы одна точка такая, что .
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует точка такая, что (формула Ла-
гранжа).
Теорема Коши. Если функции , непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и , то существует точка такая, что (формула Коши).

Пример 6.8.

Доказать, что уравнение имеет только один действительный корень.

Решение:

Поскольку функция непрерывна и на концах отрезка принимает значение разных знаков -, то по первой теореме Больцано Коши на интервале уравнение имеет корень. Предположим, от противного, что это уравнение имеет два действительных корня .

Тогда по теореме Ролля па интервале существовала бы точка , в которой . Но при действительных . Полученное противоречие доказывает, что действительный корень — единственный.

Пример 6.9.

Используя формулу Лагранжа, доказать неравенство .

Решение:

Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на любом отрезке . Поэтому . Отсюда, учитывая, что , имеем .

Пример 6.10.

Написать формулу Коши и найти значение , для функций на отрезке

Решение:

Все условия теоремы Коши выполнены: . Поэтому

Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей ).

Пусть — окрестность точки с выброшенной точки .

Теорема. Пусть функции дифференцируемы на

Если (или и , то при условии, что существует предел отношения производных.

Замечания:

1. Аналогичная теорема справедлива и в случае

2. Если частное в точке также есть неопределенность вида и производные удовлетворяют соответствующим условиям, то можно перейти к отношению вторых производных и т.д.

3. Неопределенности вида или алгебраическими преобразованиями функции приводятся к неопределенности вида далее применяется правило Лопиталя.

4. В случае неопределенности вида следует прологарифмировать функцию и предварительно найти предел ее логарифма.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сборники и решебники задач по математическому анализу

Пример 6.11.

Пример 6.12.

Пример 6.13.

Пример 6.14.

Здесь неопределенность вида .

Обозначим . Логарифмируя и применяя правило Лопиталя, получим

(здесь дважды использован предел ).

Поскольку .

Формула Тейлора и ее приложения

Если функция дифференцируема раз в окрестности точки , то для любого имеет место формула Тейлора -го порядка

где — остаточный член в форме Лагранжа.

Приведем разложения некоторых функций по формуле Тейлора при :

Остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в форме Пеано: .

Пример 6.15.

Разложить многочлен по степеням двучлена .

Решение:

Поскольку — многочлен 4-й степени, то и формула Тейлора при имеет вид

Подставляя в эту формулу значения ,

, получим

Пример 6.16.

Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции в точке .

Решение:

Имеем

По формуле Тейлора получаем

Пример 6.17.

Вывести приближенную формулу и оценить ее точность при .

Решение:

Запишем формулу Тейлора 4-го порядка для функции в точке :

, где .

При имеем

Поэтому с точностью

Пример 6.18.

Вычислить с точностью до .

Решение:

Формула Тейлора для функции имеет вид

где .

Полагая , получим:

где .

Так как , то

Определим наименьшее значение так, чтобы выполнялось неравенство .

Если , а если , то Поэтому с точностью до .

Пример 6.19.

Вычислить .

Используем формулу Тейлора с остаточными членами в форме Пеано:

Из последней формулы при получим

Искомый предел может быть переписан в виде

(поскольку ) при ).

Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков

Исследование функций на экстремум. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты

Если существует окрестность точки такая, что для всякой точки этой окрестности выполняется неравенство , то точка называется точкой минимума (максимума) функции .

Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если -точка экстремума функции , то или не существует ( — критическая точка этой функции).

Теорема 2 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности (; ) критической точки , за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах производная имеет противоположные знаки, то — точка экстремума, причем если при при , то — точка максимума. Если же при сохраняет знак, то точка не является точкой экстремума.

Теорема 3 (второе достаточное условие экстремума). Пусть дважды дифференцируема и . Если , то — точка максимума функции , если , то -точка минимума. Если же , то требуются дополнительные исследования.

Если па интервале всякая касательная располагается выше (ниже) дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым (вогнутым).

Если на интервале , то график функции является вогнутым па этом интервале; если же , то график функции — выпуклый на .

Точка , при переходе через которую направление выпуклости графика функции меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

Теорема 4 (необходимое условие точки перегиба). Если — абсцисса точки перегиба графика функции , то или не существует.

Теорема 5 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , в которой или не существует. Если при этом в интервалах вторая производная имеет противоположные знаки, то — точка перегиба.

Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки графика функции до прямой стремится к пулю при неограниченном удалении точки М от начала координат.

Для существования вертикальной асимптоты необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из односторонних пределов был равен бесконечности.

Для существования наклонной асимптоты необходимо и достаточно существование двух пределов

Пример 7.1.

Для функции найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума.

Решение:

Находя производную и приравнивая ее нулю, получаем (при не существует). Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности. Результаты исследования удобно представить в виде таблицы.

Следовательно, — интервалы возрастания функции; — интервалы убывания функции; — точки максимума. Точек минимума нет.

Пример 7.2.

Для графика функции найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

Решение:

Находим вторую производную .

Критическими точками второй производной являются точки и ( в этих точках не существует). Они разбивают область определения функции на три интервала, на которых сохраняется направление выпуклости или вогнутости. Результаты исследования удобно представить в виде таблицы.

Таким образом, — интервалы выпуклости графика функции; — интервал вогнутости графика функции; (6, 0) -точка перегиба.

Пример 7.3.

Найти асимптоты графика функции .

Решение:

Прямая является вертикальной асимптотой, так как

Наклонную асимптоту ищем в виде ,

где

Поэтому прямая — наклонная асимптота.

Исследование функций и построение их графиков

Исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме.

Найти область определения функции.
Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
Найти асимптоты графика функции.
Установить интервалы монотонности функции. Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках.
Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.
Используя результаты проведенного исследования, построить график функции. При необходимости уточнения отдельных участков кривой можно вычислить координаты нескольких дополнительных точек (в частности, координаты точек пересечения графика с осями координат).

Кстати теория из учебников по математическому анализу тут.

Пример 7.4.

Исследовать функцию и построить ее график.

Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точек .

Функция нечетная, так как , ее график симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно исследовать функцию для . Прямые являются вертикальными асимптотами, поскольку . Найдем наклонные асимптоты :