Полином Тейлора. Формулы Тейлора и Маклорена
Пусть функция 
определена и n + 1 раз дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку ®q. Найдем полином степени n, который вместе со своими производными до n-ой включительно, совпадает с соответствующими значениями функции и се производных в точке 
(полином Тейлора в точке ). Этот полином нам удобно искать в виде:
Вычислим коэффициенты полинома Тейлора. С одной стороны, 
. с другой 
, поэтому 
. Далее будем последовательно дифференцировать полином 
и приравнивать его производные в точке соответствующим производным функции 
Таким образом,
и, следовательно,
— полипам Тейлора а точке .
Найдем разность 
, т. е. величину ошибки, которую мы совершаем, заменив функцию ее полиномом Тейлора. Рассмотрим функции
Заметим, прежде всего, что дня них
Применим последовательно теорему Коши (§3) к функциям 
и их производным до т—ой включительно на соответствующих отрезках:
где 
Отсюда, учитывая, что
получим:
Таким образом.
т. e. данная n + 1 раз дифференцируемая в интервале, содержащем точку , функция 
представляется в этом интервале в виде суммы своего полинома Тейлора 
и погрешности 
:
где
Найденное представление называется формулой Тейлора. порядка n для функции в точке 
с остатком 
в форме Лагранжа. В частном случае при 
из (1) следует формула Маклорена:
Если потребовать, чтобы функция 
была 
раз дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку 
раз дифференцируема в точке , то для этой функции имеет место формула Тейлора с остатком в форме Пеано:
в которой
Замечание 1. Из определения полинома Тейлора следует, что он для функции находится однозначно и полином Тейлора для суммы (разности) функций равен сумме (разности) их полиномов Тейлора.
Замечание 2. Подстановка 
сводит задачу разложения функции по формуле Тейлора к задаче представления функции 
с помощью формулы Маклорена.
Так как величина 
представляет собой приращение аргумента в точке , то мы можем переписать формулу Тейлора (3) в дифференциалах (§2, пункт 3):
Из многочисленных приложений формулы Тейлора отметим здесь возможность приближенного вычисления значений функции с любой точностью. Действительно, если задана точность вычисления 
. то в качестве приближенного значения функции мы можем взять значение ее полинома Тейлора, подобрав n таким, чтобы остаток формулы Тейлора был меньше по абсолютной величине, чем точность 
. Более удобной в этом отношении является формула (1), так как мы можем оценить величину’ се остатка.
Эта лекция взята со страницы онлайн помощи по математическому анализу:
Математический анализ онлайн помощь
Возможно эти страницы вам будут полезны:
