Правило Лопиталя
В э том параграфе мы докажем утверждение, которое может оказаться полезным при вычислении пределов функций, которые приводят к неопределенностям вида 2 или
Теорема. Пусть функции 
определены и дифференцируемы в некотором интервале, содержащем точку 
, кроме, может быть, самой этой точки, и 
в этом интервале. Предположим также, что
Тогда, если существует предел (конечный или бесконечный)
то существует также предел
и
(правило Лопиталя)
Доказательство проведем для неопределенности 
. Доопределим функции
в точке 
нулевыми значениями и применим теорему Коши к отрезку 
:
Из последнего равенства и следует утверждение теоремы, так как при 
также и 
.
Замечание 1. Правило Лопиталя сохраняет также свою силу и в случае неопределенностей вида 
.
Замечание 2. В некоторых случаях правило Лопиталя целесообразно применять повторно. При нахожденш! сложных пределов имеет смысл комбинировать свойства пределов (глава IV’. §4, пункты 2 — 4) и правило Лопиталя.
Эта лекция взята со страницы онлайн помощи по математическому анализу:
Математический анализ онлайн помощь
Возможно эти страницы вам будут полезны:
