Свойства непрерывных функций

Свойства непрерывных функций

Теорема 4.1. Если функции непрерывны в точке , то функции

(при условии (С — постоянная) непрерывны в точке .

Доказательство следует из определения непрерывности функции и аналогичных свойств пределов функции.

Например, если , то

Замечание 4.1. Теорема справедлива и при любом конечном числе непрерывных функций.

Теорема 4.2 (Вейерштрасса). Функция ограничена на данном отрезке.

Доказательство. От противного.

Предположим, что функция не ограничена на отрезке . Тогда для любого найдется точка , такая, что .

Известно, что из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность , для которой (теорема 2.4 Больцано-Вейерштрасса). Тогда, с одной стороны, — в силу неограниченности с другой стороны, — в силу непрерывности функции .

Получено противоречие. ■

Теорема 4.3 (Вейерштрасса)*. Функция достигает на этом отрезке своих точной верхней и точной нижней граней.

Напомним, что точная верхняя грань М непрерывной на отрезке функции называется максимумом функции на этом отрезке: ; точная нижняя грань m — минимумом функции па этом отрезке: . Напомним, также, что нулем функции называется всякое значение , при котором .

Теорема 4.4 (Коши о нулях функции). Если функция и на концах данного отрезка принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется, по крайней мере, одна точка , такая, что .

Доказательство.

Пусть, для определенности, ..

Разделим отрезок точкой пополам. Тогда если , то искомая точка найдена и теорема доказана. Если , то возьмем ту половину отрезка для которой . Разделим отрезок точкой пополам. Если , то искомая точка найдена и теорема доказана. Если , то возьмем ту половину отрезка , для которой , и выполним очередное разбиение. Продолжив эти рассуждения, получим, что, либо через конечное число шагов найдется точка для которой , либо существует конечная последовательность вложенных стягивающихся отрезков , для которых . Согласно теореме 2.5 (Кантора) существует единственная точка общая для всех отрезков, причем

Учитывая непрерывность функции и переходя к пределу в неравенствах , получим

откуда

Теорема 4.5 (Коши о промежуточном значении). Если функция — любое число, заключенное между А и В. то найдется точка , в которой .

Доказательство.

Пусть, для определенности, . Тогда для функции имеем

Итак, функция на концах отрезка имеет разные знаки. Согласно теореме 4.4 существует точка , такая, что . Следовательно, . ■

Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:

Предмет математический анализ

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции для предела функции с примерами решения

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке с примером решения

Непрерывность сложной функции: теоремы и следствия

Непрерывность элементарных функций: теорема и доказательство