Оглавление:
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 3.5. Функция называется бесконечно малой функцией (БМФ) в точке
(или при
), если
.
По определению предела функции в точке:

Аналогичным образом определяются бесконечно малые функции (БМФ) при .
Теорема 3.3. Алгебраическая сумма и произведение любого конечного числа БМФ при , а также произведение БМФ на ограниченную функцию, являются БМФ при
.
Доказательство следует из определения предела функции по Гейне и теорем о БМП.
Пусть в некоторой проколотой окрестности точки определены функции
, являющиеся БМФ при
.
Определение 3.6. Функция называется БМФ более высокого порядка, чем
при
, если
.
Если при этом , то
называется БМФ порядка
по сравнению с БМФ
при
.
Обозначается: при
.
Определение 3.7. Функции и
называются БМФ одного порядка при
, если
, где С — конечное число, отличное от нуля.
Определение 3.8. Функции называются эквивалентными БМФ при
, если
.
Обозначается: при
.
Пример 3.10.
Функции являются при
БМФ одного порядка.
Действительно,

Пример 3.11.
Функция является при
БМФ второго порядка малости по отношению к БМФ
.
Действительно,

Теорема 3.4*. Предел произведения или частного БМФ не изменится, если любую из них заменить эквивалентной ей БМФ.
Пусть — БМФ при
.
Имеют место следующие эквивалентности:

Пример 3.12.
Вычислить .
Решение:

Ответ: 5.
Как и в случае установленной в теореме 2.2 связи последовательности, ее предела и БМП, аналогичная связь наблюдается и между функцией, ее пределом и БМФ.
Теорема 3.5. Число А является пределом функции в точке
тогда и только тогда, когда имеет место равенство

где — БМФ при
.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть . Тогда, обозначив
, получим

т. е. — БМФ при
.
Достаточность. Пусть , где
.
Покажем, что . Имеем

Определение 3.9. Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) в точке
(или при
), если
. В этом случае пишут:
. Если
, если
.
По аналогии с ББП, можно сформулировать основные свойства ББФ:
1. Произведение двух ББФ есть ББФ.
2. Если в некоторой проколотой окрестности точки для функции
выполнено условие
, где С — константа, а
— ББФ при
, то функция
— ББФ при
.
3. Если — ББФ при
, то функция
БМФ при
. Если
— БМФ при
(причем
в некоторой проколотой окрестности точки
), то функция
— ББФ при
.
Заметим, что в случае вычисления предела выражения при
, где
— БМФ при
, считают, что получена неопределенность типа
; в случае вычисления предела выражения
при
, где
— ББФ при
, считают, что получена неопределенность типа
; в случае вычисления предела выражения
при
, где
— ББФ при
, считают, что получена неопределенность типа
; в случае вычисления предела выражения
при
где
есть БМФ и
есть ББФ при
, считают, что получена неопределенность типа
. В решении задач встречаются также неопределенности типа
. Выражение «раскрыть неопределенность» означает — найти предел соответствующего выражения, если он существует.
Пример 3.13.
Вычислить .
Решение:

Ответ: .
Пример 3.14.
Вычислить .
Решение:

Ответ: .
Пример 3.15.
Вычислить .
Решение:

Ответ: 3.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: