Оглавление:
Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид 
, где 
и 
— действительные числа.
Общее решение линейного неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения 
этого уравнения и общего решения 
соответствующего однородного уравнения, т.е. 
.
Вид частного у решения неоднородного уравнения зависит от вида правой части этого уравнения. Рассмотрим некоторые случаи.
а) 
. Если 
, то частное решение неоднородного уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена: 
, где 
— неопределенные коэффициенты. Если 
, то частное решение ищем в виде 
, когда один из корней характеристического уравнения равен нулю, и в виде 
, когда оба корня характеристического уравнения нули. Аналогично обстоит дело, если 
— многочлен 
произвольной степени.
Пример №1
Решить уравнение 
.
Решение:
Имеем: 
. Так как ноль — однократный корень характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения ищем в виде 
. Отсюда имеем: 
. Подставляем в исходное уравнение: 
. Искомые коэффициенты будут: 
. Значит, частное решение будет 
, а общее решение получается в виде 
.
б) 
. Частное решение ищем в виде 
, где 
— неопределенный коэффициент. Если 
— корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде 
, когда -однократный корень, и в виде 
, когда — двукратный корень. Аналогично будет, если 
, где — многочлен.
Пример №2
Решить уравнение 
.
Решение:
Имеем: 
. Так как в характеристическом уравнении корень имеет кратность, равную двум, то частное решение данного уравнения ищем в виде 
. Далее имеем:
в) 
(
и не нули одновременно). В этом случае частное решение у ищем также в форме тригонометрического двучлена 
, где и 
— неопределенные коэффициенты.
В случае 
(или когда 
— корни характеристического уравнения) частное решение исходного уравнения ищем в виде 
.
Пример №3
Решить уравнение 
.
Решение:
Имеем: 
. Так как 
— корни характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения ищем в виде 
. Далее имеем:
Для рассматриваемых дифференциальных уравнений справедлива так называемая теорема наложения, которая позволяет отыскивать частное решение в более сложных случаях.
Теорема. Если 
является решением уравнения 
, а 
решением уравнения 
, то 
есть решение уравнения 
.
Пример №4
Найти общее решение уравнения 
.
Решение:
Характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Следовательно, 
. Находим частное решение 
уравнения 
в виде 
, тогда 
. Отсюда 
. Следовательно, 
.
Частное решение 
уравнения 
ищем в форме 
. Тогда 
. Отсюда 
. Следовательно, 
.
Наконец, находим частное решение 
уравнения 
в форме 
, тогда 
. Подставляя в уравнение, получим: 
. Отсюда имеем: 
Значит 
. Следовательно, 
.
По теореме наложения частное решение исходного уравнения будет: 
, тогда общее решение запишется так: 
.
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Уравнения, не содержащие x |
| Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами |
| Метод вариации произвольных постоянных |
| Сведение системы к одному дифференциальному уравнению высшего порядка |
