Функция 
называется непрерывной в точке 
, если при 
предел функции существует и равен ее частному значению в этой точке, т.е. если
Этому определению равносильно следующее:
Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента 
соответствует бесконечно малое приращение функции 
, т.е. если 
.
Функция разрывна в точке 
: 1) если не существует 
, или 2) функция не определена в точке , или 3) существует , но он не равен значению функции в этой точке, т.е. 
.
Для того чтобы функция 
была непрерывной в точке 
, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
функция должна быть определена в некоторой 
— окрестности точки 
и в самой точке ;
функция должна иметь одинаковые односторонние пределы, т.е.
односторонние пределы должны быть равны 
.
Если существует конечный , но , то точка называется точкой устранимого разрыва функции.
Точка называется точкой разрыва 1-го рода для , если существуют конечные односторонние пределы функции в точке и
В противном случае имеем точку разрыва 2-го рода.
Скачком функции в точке а называется разность ее односторонних пределов 
, если они различны.
В случае 
функция непрерывна справа в точке .
В случае 
функция непрерывна слева в точке .
Функция непрерывна в точке 
непрерывна в этой точке слева и справа.
Если и 
непрерывны в точке , то 
и 
непрерывны в этой точке; 
непрерывна в точке , если 
.
Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала.
Любая элементарная функция непрерывна в области определения.
Пример:
Задана функция 
. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение:
а) При 
непрерывна при 
. Рассмотрим т. 
. Вычислим 
— точка разрыва 2-го рода. 
непрерывна слева в точке . График функции изображен на рис. 12.
б) Функция определена при всех значениях 
, кроме 
. Следовательно, — точка разрыва. Исследуем ее характер.
Вычислим
Так как 
, но 
, то — точка неустранимого разрыва 1 -го рода. При 
, при 
при непрерывна. График функции изображен на рис. 13.
в) При 
непрерывна в т. .
— точка устранимого разрыва.
Рассмотрев 
, т.е. изменив значение в точке
разрыва, получаем непрерывную функцию. График функции изображен на рис. 14.
г) Поскольку элементарные функции 
непрерывны на 
, то точками разрыва могут быть лишь и 
. Имеем
Значит, в точке функция непрерывна. Аналогично, 
. Тогда в точке функция имеет разрыв первого рода с величиной скачка 
. График функции изображен на рис 15 .
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
