Оглавление:
Задание: Решение дифференциальных уравнений второго порядка.
Цель: формирование умений решать дифференциальные уравнения второго порядка: простейшие, линейные однородные с постоянными коэффициентами.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
49.1. Какие дифференциальные уравнения называют простейшими второго порядка? Какова техника их решения?
49.2. Решите простейшие дифференциальные уравнения второго порядка:
49.3. Найдите частное решение простейших дифференциальных уравнений второго порядка:
49.4. Какие дифференциальные уравнения называют линейными однородными (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами? Какова техника их решения?
49.5. Решите ЛОДУ II порядка с постоянными коэффициентами:
49.6. Решите дифференциальные уравнения второго порядка:
Методические указания по выполнению работы:
Выделяют следующие виды дифференциальных уравнении второго порядка:
1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка — уравнения вида: 
.
Метод решения, двукратное интегрирование по переменной 
.
Пример 1.
Найдите решение дифференциального уравнения 
.
Решение:
Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение второго порядка, найдем сначала 
по формуле: 
.
или 
, где 
— константа.
Для нахождения искомой функции 
найдем интеграл от по переменной :
или 
, где и 
— константы.
Полученная функция является общим решением дифференциального уравнения .
Ответ: .
Обратите внимание, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные и .
Для нахождения решения задачи Коши можно использовать следующий алгоритм:
- Найдите по формуле: .
- Воспользовавшись первым начальным условием (
), найдите значение константы и подставьте его в функцию . - Найдите функцию , взяв интеграл от по переменной .
- Воспользовавшись вторым начальным условием (
), найдите значение константы и подставьте его в функцию . Полученная функция будет являться частным решением исходного дифференциального уравнения.
Пример 2.
Найдите решение задачи Коши: 
, если при 
, 
и 
.
Решение:
1. Найдем 
.
2. Воспользуемся первым начальным условием: при . Подставим эти числа в функцию 
. Поскольку 
, получим, что 
.
Подставим найденное значение в функцию 
или 
.
3. Найдем функцию 
или 
.
4. Воспользуемся вторым начальным условием: при . Подставим эти числа в функцию 
. Поскольку
, получим: 
или 
.
Найденное значение константы подставим в функцию : 
. Полученная функция является частным решением исходного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.
Ответ: .
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами — уравнение вида 
, где 
и 
— постоянные величины.
Для нахождения решения дифференциальных уравнений такого вида будем составлять характеристическое уравнение: 
, где 
— некоторая новая переменная. Характеристическое уравнение является квадратным относительно .
В зависимости от числа и вида корней данного характеристического уравнения, решение исходного дифференциального уравнения можно представить в виде таблицы 49.1:
Таблица 49.1
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянным и коэффициентами
Рассмотрим решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами на конкретных примерах.
Пример 3.
Решите дифференциальное уравнение: 
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение 
. Найдем его корни. 
существуют два различных корня 
и 
.
или 
.
Тогда, пользуясь таблицей 49.1, находим общее решение дифференциального уравнения по формуле 
.
Ответ: 
.
Пример 4.
Решите дифференциальное уравнение: 
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение 
. Найдем его корни. 
существуют два равных корня 
.
Тогда, пользуясь таблицей 49.1, находим общее решение дифференциального уравнения по формуле 
.
Ответ: 
.
Пример 5.
Решите дифференциальное уравнение: 
.
Решите дифференциальное уравнение: .
Решение:
Составим характеристическое уравнение 
. Найдем его корни. 
существуют два комплексных корня и .
Тогда, пользуясь таблицей 49.1, находим общее решение дифференциального уравнения по формуле 
.
Ответ: 
.
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
