Дифференцирование обратной функции

Дифференцирование обратной функции

• Дифференциальная обратная функция. 5.4. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x, указанной в этом отношении, и ее производная(‘(x) не равна нулю. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y=((x), обратная функция x=(x)

-1(y)определена для y=(x), и указанная обратная функция может быть дифференцирована в соответствующей точке y=} (x), и в этой точке y {Г1(Г)} ‘ 1__ ГМ’ (5.17).) Так как функция y=((x)строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности заданной точки x,

то обратная функция x=/:-H1/по теореме 4.5 (см. Главу 4,§2) строго монотонна, а Людмила Фирмаль

соответствующая функция X=/: — H1 / строго монотонна. Приведем в качестве аргумента этой обратной функции в указанной точке любое достаточно малое и о Тл и ч н о е из н ы л и приращение Du. Это приращение Du соответствует приращению DX= / 1 (y+du)—/»Chu обратной функции в соответствующей точке y=((x)), и, в силу строгой монотонности обратной функции, оно соответствует приращению

Ah o t l, заданному из n y l I. Это позволяет вам написать следующее удостоверение*:—(5.18) У ДХ делать При тождестве (5.18) приращение Du стремится к нулю. А из-за разностной формы непрерывного условия обратной функции x=/ — Chu в соответствующей точке y=/(x)) приращение этой функции DX также стремится к нулю. В этом

• случае давайте убедимся, что правая часть (5.18) имеет предел 200ch. 5. Дифференциальное исчисление Равно значению, стоящему справа(5.17). Это доказывает, что тот же предел имеет левую часть(5.18), то есть обратная имеет дифференциал в соответствующей точке y=CX), и для этого дифференцирования справедливо уравнение(5.17). Итак, чтобы завершить доказательство

теоремы, мы убеждены, что правая часть (5.18) имеет предел DX->0, а x равно 1C'(x), который является данной точкой. Х= / -1(г/), а=/»1(г+ДГ/)—[-1 (г), х+D х=/г-1 (Г+Д), т. е. г+АУ-СХ+ах) и AU=[(х+Ах) — СХ). Это означает, что правая часть(5.18)может быть переписана в следующем формате 1 1_______ Ду(х+&х)—[(ч)ЛГ&ч Из последнего уравнения и предположения/ ‘(x)=#0DX- * 0 в правой части (5.18) существует и равно 1D'(x). Сила, определяющая производную (x), означает, что немедленно доказываются пределы теоремы.

Примеры применения доказанной теоремы приведены в следующих Людмила Фирмаль

параграфах. Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть M-точка графа функции y=[(x), соответствующая заданному значению аргумента x(рис. 5.3). Тогда, по-видимому, производная^'(x) равна касательной наклона касательной а к касательной, проходящей через точку м к оси Oh, и производной обратной функции {^(y)}’в соответствующей точке y=.(X) равна тангенсу наклона 0 из той же касательной к оси ОУ. Угол наклона a и 0 будет равен l / 2, поэтому формула(5.17) представляет собой очевидный факт:1§0=-a+0=l/2.

Смотрите также:

Математический анализ онлайн

Понятие дифференциала функции	Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференцирование сложной функции	Применение дифференциала для установления приближенных формул.