Оглавление:
Выпуклые множества и выпуклые функции
- Выпуклого множества и выпуклой функции. Пусть x,==(Xx1, XG1,, I, 1) и x2=(XL X22, XT2)-две точки м-мерного евклидова пространства Et,которые мы можем рассматривать как вектор Et с соответствующими координатами. Где t-любое число из отрезка 0< / <1. Покажем линию, соединяющую точки Xi, x2 и SIM- ! OX H1X2 О П Р Е Д Е Л Е Н и Е1. Множество точек Q пространства E, если оно имеет следующие характеристики, называется b y n y K l Y m: каковы бы ни были две точки Xi и x2, принадлежащие множеству Q, необходимо их
связать. Примером выпуклого множества в пространстве Et будет » m-мерный шар (открытый или закрытый) или полупространство XT>0(т. е. множество всех точек (x x2,…, HT), координаты T которого удовлетворяют условию HT>0 (Et). Примером невыпуклого множества Q является дополнение M-мерного открытого шара, из которого удаляется m-мерный шар или по крайней мере одна точка. Пусть Q-некоторый набор точек в пространстве E и x, и любая фиксированная точка в этом пространстве. У нас есть точная нижняя сторона расстояния от точки x до всех возможных точек в этом множестве от точки x до точки X до точки X до точки t до точки p S S t до точки n o f e s t до точки Q Расстояние от точки x до множества Q
обозначается символом p (x, Q). Итак, по определению p(x, Q)=inf p (x, y). y€Q для Людмила Фирмаль
любого множества Q в пространстве Y и любой точки x в этом пространстве существует расстояние p (x, Q). В частности, если точка x принадлежит множеству Q, то p(x, Q)=0. Однако множество Q, p(x, y)не всегда имеет точку y такую,что p (x, Q). Так, например, если множество Q представляет собой открытый m-мерный шар, а x-точку E, находящуюся вне этого шара, то такое множество Q не будет иметь точки y, подобной p (x, y).) — 17516Ч. 12. Функции некоторых переменных =p (x, Q) (для всех точек открытого шара справедливо неравенство p(x, y)>p (x, Q)). Однако если множество Q
имеет точку y такую, что p(x,y)=p(x, Q), то эта точка y называется p r o e to C и e y и называется M n O f E s T V o f of H Ki x. Проекция точки x на множество Q обозначается знаком Pq (x). Подчеркнем, что если точка x принадлежит множеству Q, то Pq (x)=x. Таким образом, проекция Pq (x) на множество Q точки x определяется соотношением р(х, ВП (х))=р (х, м)=INF и р(х, г). VEQ Например, если Q-Т-мерная сфера, центрированная на точке x, то любая точка Q является проекцией точки x на множество Q. Однако следующие леммы справедливы.Л Е
- М М А1. Если множество Q в пространстве e выпукло и X-любая точка E™, то существует уникальная проекция точки x на множество Q. D o K a z a t e l s T V o. по определению, R (x, Q)насколько точен нижний край inf R(x, y) r(x,Y) — > — * p(x, Q): по определению численного предела любого e>0, все элементы удовлетворяют нескольким элементам yn)»)(UKP, Y) — это отношение IP (H. UKP) — P(x, y)|)=p(x, y), то есть p(x, Q)=p (x, y). п Таким образом, доказательство существования хотя бы одной проекции точки X на множество Q завершено. Так как множество Q выпукло, то весь отрезок yiy2, соединяющий yi и Y2, принадлежит множеству Q. Убедимся, что расстояние p^x, — ^y-j от точки x до указанной середины отрезка y\u строго меньше расстояния p (x, Y1)=p(x, Y2). В этом случае между p^x, j=0, p(x, Y1)=p(x, Y2)>0 обе точки yi и Y2 совпадают с x и не могут быть разными. Итак, в простом случае неравенство y1y=x p (x,a и b в пространстве E не
тождественны друг другу (т. е. для любого фактического l они строго Коши-Буняковского). Это должно доказать неравенство (12.1.3), вектор y\ — x и y?То есть убедитесь, что 1/1—x=K (Y2—x) не истинно для фактического X. Если уравнение (12.1.4) истинно для X из (12.1.4)|L|#=1, то это было бы невозможно для уравнения p (Y x)=, p (Y2, x). Эффективность эквивалентности X=12.1.4 несовместима с тем фактом, что точки yi и Y2 различны. Наконец, X=-12.1.4, равенство равенства означает Y1 — ^YG■ = x, и я исключил этот случай. Таким образом, равенство (12.1.4) несправедливо по отношению к фактическому X, поэтому доказательство неравенства (12.1.3) является полным. Сравнение равенства(12.1.2)и неравенства (12.1.3)дает п Два. U1 — икс)+ +2У (уб-х, У1-х) у (У2-х,У2-х)±(У2-х,У2-х)]==4″[/(УБ-л:. Y1-x)+V\y2-x, Y2-x)]
g= Четыре. =[p(x, U1)+p(x,U2)]2=P2(x,U1)=P2 (x,U2). Таким образом, доказательство неравенства(12.1.1) завершено. Людмила Фирмаль
Однако это неравенство означает, что множество Q имеет точку yi+, которая ближе к x, чем точки y Y1 и Y2, что означает, что каждая из точек y\и G / 2 является точкой на множестве Q. Вектор в этом дополнении не выделен жирным шрифтом.Дополнение 1 519 Полученное противоречие указывает на то, что две различные проекции y\и g/2 точки x на множестве Q ложны. Доказательство леммы 1 является полным. Перейдем к определению выпуклой функции. О П Р Е Д Е Л Е Н и Е2. Функция f (x), заданная выпуклому множеству Q пространства E, называется N и z y n y K l o y или просто y n y K l o y, и любой из сегментов 0<D<1 (12.1.5) O p R e d e l e N I e3. Ясно, что функция f(x), заданная выпуклому множеству Q
пространства Et, выпукла для любых двух точек Xi и x2 множества Q, а для любого вещественного t из интервала 0</<1 точная выпуклая функция f (x)для точного (12.1.6) множества Q выпукла для этого множества. Для выпуклого множества Q функции f (x) легко дифференцировать дважды строгие выпуклые[соответственно]достаточные условия для выпуклости. Л е м м А2. В свою очередь, чтобы эта функция была выпуклой, на множестве Q достаточно, чтобы вторая производная этой функции, d2f, была квадратичной формой [строго положительно
определенной], которая квазиопределима во всех точках Q. Д О К а з а т е л ь с т в о. рассмотрим следующую функцию: отрезок 0< / C1 независимая переменная t: F(t)=f[x1+t{x2-x l)}-f(x1)-t[f(x2)-f (x i)]. (12.1.7)напомним, что вторая производная функции d2f f (x)=f(xi,x2,)…X, xm) независимые переменные (xi, x2,… В этой точке x=(XH x2,…Равно, HT * * См. пункт 2§5 Главы 12. м ПГ f=l L = 1 * Согласно правилам дифференцирования сложных функций, дифференцирование функции (12.1.7)по t дважды дает 520 Глава 12. Функции некоторых переменных t T O)=U U [X4 — ^(x2-X1)] (x?- XB xl), (12.1.9) m, OXiOXk £=1l=1 Где (HD X21,…, x(1) и (xi2, X22,…. HT2) — координаты точек xt и x2 соответственно. Если сравнить соотношения (12.1.8) и (12.1.9), то мы убедимся в
эффективности равенства F»(t)=d2f[Xl+1 (x2-x t)], (12.1.10), а в уравнении d2f-приращение Ah,-равно X, 2-X, 1-x, 1. Дальнейшее рассуждение о достоверности осуществляется, когда вторая производная d2f во всех точках Q находится в полуопределенной правильной второй форме.
Смотрите также:
