Оглавление:
Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба
Пусть функция задана па интервале
, непрерывна на этом интервале и в каждой точке графика этой функции существует единственная касательная.
Определение 9.1. График функции называется выпуклым или выпуклым вверх па интервале
, если он расположен ниже любой своей касательной, т. е.
(рис. 9.2); график функции
называется вогнутым или выпуклым вниз на интервале
, если он расположен выше любой своей касательной, т. е.
(рис. 9.3).
Определение 9.2. Точки графика функции, в которых выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называются точками перегиба графика.

Теорема 9.4. Пусть функция определена и дважды дифференцируема на интервале
. Тогда если
для
, то на этом интервале график функции вогнутый; если
, то на этом интервале график функции выпуклый.
Доказательство.
Рассмотрим разность на отрезке
, если
, и на отрезке
, если
. Согласно теореме 7.4 (Лагранжа):

Поэтому

Тогда, при , следовательно на этом отрезке график функции будет вогнутый; при
, следовательно на этом отрезке график функции будет выпуклый. ■
Теорема 9.5 (необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции имеет перегиб в точке
и пусть функция
имеет в точке
непрерывную вторую производную. Тогда
.
Доказательство.
Пусть — абсцисса точки перегиба графика функции
. Для определенности будем считать, что выпуклость сменяется вогнутостью, т. е. при
справедливо неравенство
, при
справедливо неравенство
. Тогда
,
. Так как, по условию теоремы, вторая производная в точке
существует, то
. ■
Определение 9.3. Точка из области определения функции
называется критической (стационарной) точкой второго рода, если вторая производная функции в этой точке обращается в пуль
или не существует.
Замечание 9.3. Не всякая точка , для которой
является точкой перегиба.
Пример 9.4.
График функции не имеет перегиба в точке (0; 0), хотя
обращается в 0 при
.
Теорема 9.6 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки
. Тогда если в пределах указанной окрестности
имеет разные знаки слева и справа от точки
, то график функции
имеет перегиб в точке
.
Доказательство.
Из того, что слева и справа от точки
имеет разные знаки, на основании теоремы 9.4 можно сделать заключение, что направление выпуклости графика функции слева и справа от точки
является различным. Это и означает наличие перегиба в точке
. ■
Замечание 9.4. Теорема остается верной, если функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки
и существует касательная к графику функции в точке
. Тогда если в пределах указанной окрестности
имеет разные знаки справа и слева от точки
, то график функции
имеет перегиб в точке
.
Пример 9.5.
Точка (0; 0) является точкой перегиба графика функции , хотя вторая производная функции при
не существует. Касательная к графику функции
в точке (0; 0) совпадает с осью
.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: