Оглавление:
Достаточные условия экстремума
Теорема 9.2 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция 
дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки 
и непрерывна в точке 
. Тогда, если 
при 
при 
, то в точке функция имеет локальный максимум; если 
при 
, то в точке 
функция имеет локальный минимум.
Доказательство следует из теоремы 9.1.
Теорема 9.3 (второе достаточное условие экстремума). Если в критической точке функции 
существует 
, а 
, то при 
функция имеет локальный максимум, при 
— локальный минимум.
Доказательство.
Если в точке существует вторая производная 
, то первая производная 
существует в некоторой окрестности этой точки 
. Тогда 
.
Пусть 
. Тогда 
.
При 
производная 
, т. е., согласно теореме 9.1, функция возрастает; при 
производная 
, т. е. функция убывает. На основании теоремы 9.2; в точке 
функция имеет локальный максимум.
Случай 
рассматривается аналогично. ■
Замечание 9.2. Так как теорема формулирует только достаточное условие, то при 
, функция может как иметь, так и не иметь экстремум.
Пример 9.2.
Функция 
имеет в точке 
минимум, при этом 
. Функция 
не имеет в точке экстремума, при этом также 
.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
