Область 
называется правильной относительно оси 
, если прямая, параллельная этой оси, проходящая через внутреннюю точку области , пересекает границу области в двух точках. Аналогично определяется правильная область относительно оси 
.
Область , правильную относительно как , так и , называют просто правильной областью.
Если область — правильная относительно (рисунок 10.2), двойной интеграл вычисляется по формуле:
Правую часть формулы (10.5) называют повторным (двукратным)
интегралом.
Вычисление повторного интеграла начинаем с вычисления внутреннего интеграла 
в котором переменную 
надо принять при интегрировании за постоянную величину. После подстановки пределов интегрирования в первообразную получаем некоторую функцию от , которую затем интегрируем на отрезке 
.
Если область является правильной относительно оси (рисунок 10.3), двойной интеграл вычисляется по формуле:
Если область — просто правильная, можно применять как формулу (10.5), так и формулу (10.6). При этом переход от одной формулы к другой называют изменением порядка интегрирования.
Сам процесс перехода от двойного интеграла к повторному и расстановка пределов интегрирования для внешнего и внутреннего интегралов называют приведением двойного интеграла к повторному.
Правило расстановки пределов:
- В пределах внутреннего интеграла (интеграла по первой переменной) в общем случае стоят функции второй переменной.
- В пределах внешнего интеграла (по второй переменной) стоят постоянные числа.
В результате вычисления двойного интеграла получается некоторое постоянное число.
Если область не является правильной ни относительно оси , ни относительно оси , её разбивают на конечное число областей 
, правильных относительно одной из осей и при вычислении применяют свойство 2.
Пример выполнения задания
Изобразить на плоскости область интегрирования . Вычислить двойной интеграл 
. Граница области задана уравнениями:
Решение:
а) Построив кривые, получим область (рисунок 10.4). Область правильная. Применим формулу (10.5). При этом уравнение верхней границы области 
преобразуем к виду 
:
Изменим порядок интегрирования и применим формулу (10.6):
b) Область построена на рисунке 10.5. Область правильная. Выбираем для интегрирования формулу (10.6):
Изменим порядок интегрирования. При этом нижняя граница области задана двумя аналитическими выражениями 
. В этом случае область нужно разбить на две области 
с помощью прямой, проходящей по оси 
. На основании свойства 2 двойного интеграла получаем:
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
