1. Две матрицы и
одинаковой структуры (одинаковых размеров) равны друг другу, если их соответствующие элементы равны. Понятие неравенства в матрицах не определено.
2. Две матрицы одинаковой размерности можно складывать и вычитать:
. При этом
. Здесь
— элементы матриц
, стоящие на одинаковых местах. Например,

3. Произведение матрицы на число (скаляр)
определяется соотношением
. Каждый элемент матрицы умножается на это число:
4. Операция замены строк матрицы столбцами с теми же номерами называется транспонированием матрицы. Эта операция обозначается так:
. Повторное транспонирование приводит к исходной матрице:
. Матрицы, удовлетворяющие условию
, называются симметрическими. Они характеризуются
условием . Пример симметрических матриц:
.
5. Две матрицы согласованных размеров можно перемножить. Количество столбцов (длина строки) первой матрицы должно быть равно количеству строк (высоте столбца) второй:

На рисунке 1.1 указаны размеры перемножаемых матриц и результата.
Для расчета элемента элементы строки
матрицы
перемножаются с элементами столбца
матрицы
по формуле:


Приведём пример, из которого несложно понять правило умножения матриц:
Пример:
Перемножить матрицы .
Решение:

В приведённом примере нельзя сомножители (матрицы) поменять местами, потому что их размеры будут не согласованы. Но и в общем случае произведение матриц некоммутативное, то есть .
Если же , то матрицы
и
называются коммутативными.
При умножении матрицы на согласованную по размерам единичную матрицу
матрица
не изменяется:
. Это означает, что в матричной алгебре единичная матрица играет роль единицы обычной алгебры: при умножении числа на единицу результат равен исходному числу. Например,

Свойство ассоциативности в матричной алгебре сохраняется. Это означает, что .
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы: