Оглавление:
Вводные замечания
- Вступительное слово. Для решения некоторых реальных физико-технических задач существует определенный интеграл функции, первичный из которых не выражается в терминах основной функции. Кроме того, приложение будет иметь дело с определенными интегралами, которые сами по себе не являются фундаментальными. Это приведет к 432CH. 11. Приближенный метод * Необходимость
разработки приближенного метода расчета конкретного интеграла. ※ Приближенный метод используется для вычисления интегрального представления через малый. В этом разделе описаны три наиболее распространенных метода аппроксимации для вычисления конкретного интеграла.м ет о д О П Р и о у Г О Л Н И К О В, м ет о д О Основная идея этих методов заключается в замене подынтегрального выражения f (x)функцией более простой природы. Чтобы прояснить эту идею, сегменты[—C, C] (рис.
Рассмотрим Интеграл^c^f (x) d x, представляющий собой область узкой изогнутой трапеции, лежащей Людмила Фирмаль
ниже графика функции y=f (x) 11.10). Замените функцию f (x) полиномом нулевого порядка, константой/(0). В этом случае Интеграл / e f (x)dx почти заменяется площадью прямоугольника на рисунке. 11.11. X) ошибка, совершенная при такой замене, равна c3. Кроме того, мы заменяем функцию f (x) многочленом первой степени, который совпадает с f (x) в точках-C и C, то есть с линейной функцией y=k x+b. метод аппроксимации для вычисления определенного интеграла 433- Рис 11.13 Измените площадь прямоугольной трапеции. 11.12 или
менее сделать ошибку., Такая замена, также имеет порядок С3. Наконец, замените функцию f(x)многочленом квадратичным,т. е. парабола y=a x2+B x+C соответствует f (x)с точками-C,0 и C. Интеграл^f (x)dx показывает ниже, что при определенных требованиях 11-13 функция f (x) в тени фигуры о, ошибка, сделанная такой заменой, равна c5. Если вам нужно вычислить Интеграл$b f (x) dx для любого сегмента[a,&], разделите этот сегмент на достаточно большое количество малых сегментов и сделайте приведенные выше рассуждения в этом случае общим методом прямоугольной,
- прямоугольной и параболы. Для оценки погрешностей, возникающих при применении метода прямоугольной, трапециевидной, параболы, мы представляем эти методы с другой точки зрения. Во-первых, мы вводим понятия u S R e d n EN и I I h и se l. Xi, L. 2 к любому положительному числу. Любое число, содержащее форму И _ * f (x1)+W(^2)+. . . +М (ХП ) . +ЛОШАДИНАЯ СИЛА (11.13) У нас есть число f (x i), f,…, f (xn). Очевидно, что все числа f (x i), f (xz),…. f(x n) заключено между числом W и M (от n до m), и среднее из этих чисел удовлетворяет неравенству t<C<.М. Кроме того, предположим, что
функция f (x) смежна с отрезком[a, 6]и все значения Xi, x%,…Роспотребнадзор находится на вершине этого сегмента. Тогда, как насчет среднего из n чисел f (%i), f (x2)?..в сегменте F (xn) [a, мы взяли NSH, есть такая точка g, что это среднее равно значению f ( | ) в точке£. Фактически функция CX) непрерывна на отрезке[a, 6], поэтому все значения этой функции на указанном отрезке заключены между ее максимальным значением M и минимальным значением
T.., f (x n) окружен между t и? Однако, каково бы ни было это промежуточное значение C, согласно теореме 4.12 на отрезке[a, B], такая точка g Людмила Фирмаль
существует.434Ч. 11. Приближенный метод Итак, для непрерывного на отрезке[a, B] выражение (11.13) можно переписать как hif(*1)+W (Hg)~B * * * 4~(n) _ Функции (N и ) Или в виде Ж (Х1)Ч~Ш(ХГ)■■ ■ ~Б^Ят(х N)?- 1П»^-2+. . . +ГЕКТОЛИТР (6-a)= / ©(B-a). (11.15) с другой стороны, для непрерывной функции отрезка[a, 6], согласно главе 2, главе 4, разделу 9, существует точка g ‘ от отрезка[a, B], и уравнение среднего справедливо б п ()</ * =/(г) (*—»)•(11.16) Но Сравнение формул (11.15) и (11.16) позволяет предположить некоторый рациональный выбор чисел b Al, A, 2…. И относится к x2…, Вычисление интеграла CP^f (x) d x a может быть заменено с большой точностью вычислением суммы, стоящей слева от формулы(11.15). Именно в этой идее разумного выбора точек xg, XP и x\, x2…, Основанный на приближенном методе вычисления КП и интеграла. Давайте перейдем к изложению этих методов
Смотрите также:
| Дифференциалы высших порядков | Метод прямоугольников |
| Методы хорд и касательных | Метод трапеций |
