Оглавление:
Всюду плотные и совершенные множества
- Плотная и совершенная толпа повсюду. O p R ed El EN I e10. Пусть A и B-два набора метрических пространств(X,p). Множество A, если Atev, B называется плотом NY m. множество A называется плотно всюду в пространстве X, если a=X. Пространство, в котором всюду
подсчитывается плотное множество, называется C E N A R A b e l l n s m I. Примеры «метрического пространства», EP, SP[a,&] и n>0 выше являются примерами сепарабельных метрических пространств. Таким образом, в EP счетным и затвердевающим везде является множество точек, координаты которых являются всеми рациональными числами. В пространстве SP[a,&], n>
0 такое множество является множеством полиномов с рациональными Людмила Фирмаль
коэффициентами. Однако, пространство является примером пространства невыровненные*. Учитывая ряд последовательностей EO *, состоящих только из нуля и нуля, мощность такого множества непрерывна. * См. Пример 4 пункта 1. U B ed и M лето в этом.
Рассмотрим произвольное число e[0,1]. Разделим отрезок[Q, 1] пополам. В качестве первого элемента последовательности он принимает 0, если x принадлежит левой половине, т. е. сегменту[0,1 / 2], в противном случае 1. Тот из двух сегментов, к которому принадлежит X, представляет собой[oi, fej]. В качестве второго
- элемента последовательности возьмите 0, если x принадлежит левой половине сегмента[oi,&i], и 1 в противном случае. Продолжая далее эти рассуждения, мы складываем в четко определенную последовательность нули и нули, согласно рассматриваемому числу X. В случае X=^y, в результате описанного процесса, эти точки одной стадии принадлежат разным отрезкам, и поэтому соответствующая последовательность различна. Глава 12 функции для некоторых
переменных Мощность, меньше, чем непрерывная. Для наших целей? Этого достаточно*. * По сути, набор последовательностей всевозможных нулей и единиц-это набор силовых континуумов. Взаимное расстояние в пространстве/?! Между двумя различными элементами p и q множества EO существует значение, равное/one. Таким образом, множество шаров радиусом 1/3 с центром в точке множества EO имеет как минимум мощность континуума, и эти шары не пересекаются, поэтому эти шары не пересекаются. E^cim, где m=(V, p), все пространство t не может быть разделено.
Если открытое множество этого пространства содержит другое открытое множество, Людмила Фирмаль
которое полностью освобождено от точки множества A, множество A равно n, А d D e равно N, А d-N метрики. Например, в пространстве C[O, 1] множество функций A в виде y=PH2 (n—целое число) нигде не является плотным. Другой пример [0,1] плотного прилегания в любом месте на отрезке (как метрическое пространство)так называемого К А Н Т О Р О В О К О В Е Н Н О М О Ж Е С Т Если множество точек в метрическом пространстве замкнуто и каждая точка в множестве A является его точкой разрыва, то это называется ver sh EN n y m. Полный набор Кантора с сегментом/=[0,1]строится следующим
образом: интервал (1/3, 2/3) удаляется из сегмента[0,1], а оставшийся набор является объединением двух сегментов[0, 1/3], [2/3, 1]— из этих двух отрезков, в свою очередь, удаляется его третий интервал(1/9, 2/9), (7/9, 8/9). Продолжайте этот процесс бесконечно. Очевидно,… … А 1P-это объединение 2P сегментов, длина каждого из которых равна 3_p. Множество K=R|1P называется m n o f e S t V o m n=1 К А Н Т О Р А Давайте покажем, что K является совершенным. То, что она замкнута, следует из конструкции и леммы 1;остается указать, что K не содержит изолированной точки. Пусть X e K, а SA — любая окрестность точки x, то есть открытое множество. Тогда, по определению
открытого множества, существует раздел<ZX (шар, центрированный на точке x), который содержит точку x и принадлежит Sx. Если N достаточно велико, Dy C<TJ. Представляет AP к концу сегмента AP, не соответствует полному 2 54D- X. Очевидно, это следует из построения множества D, AP<^K. Таким образом, любая окрестность точки x-set-2J-содержит точку ACE x:i.e. точка x является пределом множества D, и D является полным. Теперь мы докажем, что множество K на отрезке нигде не является плотным[0,1], рассматриваемым как метрическое пространство с нормальным евклидовым расстоянием. Любое
открытое множество на отрезке содержит интервал внутри себя, так что любой интервал (шар) содержит другой интервал без точки, принадлежащей D. Пусть SG-любой интервал между сегментами [0,1]. Если точка D не включена, конфигурация в этом случае заканчивается. Если у вас есть точки x e D и HEO, вы можете выбрать большой t такой, что x^A M czIm и Dt sho, t естественно.. Найдите интервал длины 3″(t+1) с центром в центре. Этот-интервал не содержит точек d и<T. Итак, плотность отрезка D в отрезке[0, 1] нигде не доказана.
Смотрите также:
