Оглавление:
Важные правила, позволяющие вычислять определенные интегралы
- Важное правило для вычисления конкретного интеграла. При вычислении конкретного интеграла очень часто используются правила замены переменных под знаком конкретного интеграла
. Пусть функция x=g (t) имеет непрерывную производную от§5. Примитивная непрерывной функции 361 Сегмент [PG, L!] * И Min g (f)=a, Max g (t)=b, * Если дифференциал g ‘(t) существует и смежен
с любым внутренним Tnuv^g K, B t g ‘( / ) и H t g'(t), g (t) говорит, что он Людмила Фирмаль
имеет непрерывную производную на отрезке Lm>M. 1 и h к e{tn, L1]и существует конечный предел t — >M-O Б М Тогда J f (x) dx=J f[g(0]g'(0dt(in u））)- один В том, что функция f (x) непрерывна на отрезках[a, b]m). Это выражение под знаком некоторого интеграла называется
выражением z A m e n s p e R E m. Д О К а з а т е л ь с Т В О. пусть F (x) — некоторый примитив функции f (x). Функции f (x) и x=g(t) можно дифференцировать по отрезкам[a, 6]и[m, M] соответственно. Итак, для каждого t из[t, M]по правилу вычисления производной комплексной
- функции] — ^- <Г(г(т))=<д'(г (т))г'(т). Обратите внимание, что производная Ф о’правое выражение вычисляется аргумент Х:ф'(г(т))=F'(х), х=г(т). Также отметим F'(х)=F(х). Если вы присвоите это равенство правой части выражения в f (g (t)), вы получите следующее выражение Унао — Таким образом, функция f (§(/)) находится в
примитивном сегменте функции f (g(t (t}) g'(t). (Дж. ф. г (0)г'(0dt=ф(г(м))—ф(г(т))=ф(б) — ф(а) Тонны При условии. Поэтому, с одной стороны, С другой стороны, m=f (B)—f (a), и f (B) — f(a)=j f (g (t)) g'(t) dt, t При необходимости. Пора начинать строить и строить. Функции f (x) и g (x) имеют непрерывную производную на отрезке[a, B], тогда J
f (x) g'(x) dx=f (x) g (x)|B-J g (x) f'(x) dx. а362 9. Очистить Интеграл Римана В Людмила Фирмаль
самом деле, [ф(х)Г(Х)]=ф(х) г(х)+F'(х) г(х). Таким образом, функция f(x) g(x) является примитивной функцией[f(x) g'(x)+H-f(x)•g(x)]. Итак, J[f (x) g'(x)+f (x) g (x)] dx=f(x) g (x)|BA, наше утверждение доказано. Последнее выражение удобно писать на бланке jA& = [fe]la — $g d f-
Смотрите также:
