Условный экстремум фнп с примером решения

Оглавление:

Условный экстремум фнп

В ряде задач на поиск наибольших и наименьших значений ФНП переменные бывают связаны друг с другом некоторыми добавочными условиями. В этом случае говорят об условном экстремуме. Заметим, что необходимым условием разрешимости является то, что число уравнений обязательно меньше числа переменных.

Рассмотрим вопрос об условном экстремуме функции двух переменных, если переменные связаны одним условием.

Пусть требуется найти экстремумы функции

при условии, что Условный экстремум фнп связаны уравнением

В определенных случаях данная задача может быть решена методом подстановки. Если удастся, например, разрешить уравнение (23.2) относительно Условный экстремум фнп , то, подставляя в (23.1) вместо найденное выражение, получим функцию одной переменной и тогда исходная задача будет сведена к задаче исследования на экстремум функции одной независимой переменной Условный экстремум фнп .

В случае, когда разрешить уравнение (23.2) не представляется возможным, используют другие методы. В частности, используется метод множителей Лагранжа.

Суть метода сводится к следующему: на основании исходной функции (23.1) и условия связи (23.2) строится вспомогательная функция Лагранжа

Функция Условный экстремум фнп — функция трех переменных.

Необходимым условием существования экстремума данной функции (в предположении, что исходные функции непрерывно дифференцируемы) является равенство нулю частных производных.

Система для определения критических точек функции Лагранжа имеет вид:

Решения системы (23.3) определяют критические точки функции Лагранжа, а также — критические точки функции (23.1) при условии (23.2).

Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака дифференциала второго порядка функции Лагранжа.

Теорема 23.1*. Пусть функции Условный экстремум фнп определены и имеют непрерывные частные производные второго порядка в некоторой области D. Пусть точка — критическая точка функции , причем Условный экстремум фнп Тогда, если при выполнении условий

Условный экстремум фнп , то в точке функция имеет условный максимум;

Условный экстремум фнп , то в точке функция имеет условный минимум.

Теорема 23.2*. Пусть функции Условный экстремум фнп определены и имеют непрерывные частные производные второго порядка в некоторой области D. Пусть точка — критическая точка функции , причем Условный экстремум фнп . Тогда если

то в точке Условный экстремум фнп функция имеет условный максимум; если , то в точке функция имеет условный минимум.

Заметим, что параметр Условный экстремум фнп носит вспомогательный характер и в вычислении значений условных экстремумов не используется.

Пример 23.1.

Найти экстремумы функции Условный экстремум фнп при условии

Решение:

Преобразуем условие связи к виду (23.2): Условный экстремум фнп

Составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные функции Лагранжа:

Система для определения критических точек имеет вид:

Решив систему, получим: Условный экстремум фнп .

Для определения характера экстремума найдем частные производные второго порядка функции Лагранжа:

Выполнение условия Условный экстремум фнп означает: , тогда

Так как Условный экстремум фнп , то в точке исходная функция имеет условный минимум, причем ; так как , то в точке исходная функция имеет условный максимум, причем .

Для определения характера экстремума с использованием определителя, составим его в общем виде:

Так как Условный экстремум фнп , то в точке исходная функция имеет условный минимум, причем : так как , то в точке исходная функция имеет условный максимум, причем .