Оглавление:
Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных
Определение 21.1. Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке
, если существует
-окрестность данной точки, такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство
.
Пример 21.1.
Функция достигает минимума в точке
.
Теорема 21.1 *(необходимые условия экстремума). Если функция имеет экстремум в точке
, то каждая частная производная первого порядка данной функции или обращается в этой точке в нуль, или не существует.
Так же, как и в случае функции одной переменной, точки, в которых частные производные обращаются в пуль или не существуют, называются критическими (стационарными) точками функции .
Теорема 21.2* (достаточные условия экстремума). Пусть функция определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой области D. Пусть точка
— критическая точка функции
. Обозначим

Тогда, если

то в точке функция
имеет экстремум, причем если
— максимум, если
— минимум;
— функция экстремума не имеет;
-необходимы дополнительные исследования.
Заметим, что в случае , т. е. когда в точке
функция не имеет ни минимума, ни максимума, поверхность, служащая графиком функции, может вблизи этой точки иметь форму «седла». Например,
(рис. 21.1). В этом случае говорят, что в данной точке наблюдается явление минимакса.

Теорема 21.3* (достаточные условия экстремума). Пусть функция определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой области D. Пусть точка
— критическая точка функции
. Тогда, если:
, то в точке
функция
имеет максимум;

. то в точке
функция
имеет минимум.
Пример 21.2.
Исследовать на экстремум функцию

Решение:
Используя необходимые условия экстремума, найдем критические точки. Для этого найдем частные производные первого порядка

и решим систему уравнений

Таким образом, получены две критические точки и
.
Для исследования характера критических точек найдем частные производные второго порядка
Тогда .
Для точки , т. е. в этой точке функция не имеет экстремума.
Для точки , т. е. в этой точке функция имеет экстремум, причем
, следовательно, это минимум.
Вычислим
Если для определения характера экстремума использовать дифференциал второго порядка, то рассуждения будут следующие. Для данной функции

Тогда

т. e. еще раз показано, что в точке функция имеет минимум.
Ответ: .
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: