Оглавление:
Условия монотонности функции на интервале
- Условие монотонности функции на интервале. В результате второго из уравнений Лагранжа рассматривается задача об условиях, обеспечивающих невозрастание(нерастание) функции на заданном интервале. Во-первых, вспомним определение функции, которая на данном интервале не уменьшается, не увеличивается, увеличивается, уменьшается. 1°. Для любой точки X{и x2 из интервала (a, B),
удовлетворяющей условию X1/(x2)•T EO R em6. 6a. для дифференцируемой функции} (x) на интервале, где (a, B) не уменьшается (не увеличивается) на этом интервале, известно, что производная этой функции неотрицательна (непозитивна) в любом месте этого интервала. Д О К а з а т е л ь с Т В О.
1) достаточность. Поместите D (x)^0 (^0) в любом месте интервала (a, B). Необходимо Людмила Фирмаль
доказать, что /(X) не уменьшается (не увеличивается) в интервале (a, B). Пусть X1 и x2-любые две точки из интервала (a, B), удовлетворяющие условию X10 . Таким образом, левая часть правой, а следовательно (6.8) неотрицательна (непозитивна) и доказывает (А, Б) неубывание (нерастание)/(х). 2) H OST s требования. Функцию/(x) можно дифференцировать по интервалу (a, b), чтобы она не уменьшалась (не увеличивалась) в этом интервале. Вам нужно
доказать, что D (x)^0 (CO) везде на этом интервале. Поскольку /(X)не уменьшается(увеличивается) на интервале(a,B), эта функция не может уменьшаться(увеличиваться) в любой точке интервала(a, B). Итак, благодаря дифференциалу D(x) Yi теоремы 6.1 в какой-то момент интервала (a, B) она не может быть отрицательной (положительной), что и пришлось доказывать. Т Е О Р Е М А6. 7. Для того чтобы функция [(x) увеличивалась (уменьшалась) на интервале (a, b), достаточно,
- чтобы производная (‘(x) была положительной (отрицательной) везде в этом интервале. Д О К А З а т е л ь с т в о производится по той же схеме, что и доказательство достаточности теоремы 6.6. Пусть XY x2-любое из§4. Некоторые результаты формулы Лагранжа 231 Из интервала двух точек (a, B), удовлетворяющих условию X1 0 (<0). В результате левая часть (6.8) положительна (отрицательна), что доказывает увеличение (уменьшение)/(x) интервала (a, B). З а м е ч а н и Е. подчеркнем, что положительная скорость (отрицательная)
дифференцирования (‘(x)) в интервале (a, B) не является условием увеличения (уменьшения) функции] (x) в интервале (a, B). Таким образом, функция y=X3 увеличивается на интервал (-1,+1), но производная этой функции^(x)=3×2 нигде в этом интервале не положительна(она гасится точкой x=0). В общем случае, если производная этой функции (‘(x)) положительна (отрицательна) в любом месте этого интервала, за исключением конечного числа точек, где эта производная равна нулю, то функция (x) увеличивается (уменьшается) на интервал (a, B) (для доказательства применим
6.7 к каждому из конечных интервалов, где/'(x) строго положительна Людмила Фирмаль
(отрицательна), а производная равна нулю при связи, установленной теоремой 6.7, лежит между знаком производной и направлением изменения функции Кихота. Так как производная равна угловому коэффициенту касательной к графу функции y=) (x), то знаком производной является острый или тупой угол с положительным направлением оси o, но касательная, если^(x)>0 интервал (a, B) находится в первой полуплоскости, луч которой находится в верхней половине вверх от 6.6)
Смотрите также:
