Уравнение прямой на плоскости в математике

Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через точку плоскости и имеющей нормальный вектор . записывается в виде

Используя обозначение

получим общее уравнение прямой на плоскости:

Две прямые, заданные своими общими уравнениями

параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при переменных и пропорциональны, т.е.:

Две прямые, заданные своими общими уравнениями, перпендикулярны тогда и только тогда, когда верно равенство

Уравнение прямой, проходящей через две точки плоскости и записывается в виде

Тангенс угла наклона этой прямой к оси называется угловым коэффициентом прямой:

а ее направляющий вектор

имеет координаты, равные

Уравнение прямой с известным угловым коэффициентом имеет вид

где — величина отрезка, отсекаемого данной прямой на оси от начала координат, (см. рис. 2.4).

Объединив полученные результаты, запишем уравнение прямой с известным угловым коэффициентом , проходящей через точку плоскости :

Под углом между прямыми на плоскости понимают наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми. Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

то угол между ними определяется по формуле

Условие параллельности этих прямых имеет вид

а условие перпендикулярности:

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Расстояние определяется по формуле

Пример:

Даны координаты вершин треугольника :

Требуется: 1) найти длину стороны ; 2) составить уравнения сторон и и вычислить их угловые коэффициенты; 3) вычислить внутренний угол при вершине в радианах; 4) составить уравнение медианы ; 5) составить уравнение и вычислить длину высоты : 6) составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне и определить координаты точки ее пересечения с высотой : 7) составить уравнение окружности с центром в точке , проходящей через вершину .

Указание. Заданный треугольник, все полученные линии и характерные точки необходимо построить в системе координат .

► 1. Найдем длину стороны . Расстояние между двумя точками

определяется по формуле

воспользовавшись которой находим длину стороны :

• Составим уравнения сторон и и вычислим их угловые коэффициенты. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости

• имеет вид

Подставляя в формулу координаты точек и , получаем общее уравнение стороны :

Угловой коэффициент для прямой найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом . В нашем случае:

Аналогично получим общее уравнение прямой и найдем ее угловой коэффициент :

Далее:

• При нахождении внутреннего угла для заданного треугольника воспользуемся формулой

Подставив ранее вычисленные значения и , находим:

Теперь, воспользовавшись таблицами значений тригонометрических функций или инженерным микрокалькулятором, получаем значение угла в радианах .

• Для составления уравнения медианы вычислим сначала координаты точки , которая лежит на середине отрезка :

Подставив координаты точек и в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, получаем общее уравнение медианы :

• Для составления уравнения высоты воспользуемся условием перпендикулярности прямых и :

откуда следует, что

Подставив в уравнение

значение и соответствующие координаты точки , найдем общее уравнение высоты :

Длину высоты определим как расстояние от заданной точки (—4; 5) до прямой по формуле

• Составим уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне . Воспользуемся условием параллельности прямой и искомой прямой :

Подставив в уравнение

координаты точки и значение . получим искомое уравнение прямой :

Координаты точки , как точки пересечения прямых и , найдем, объединив уравнения этих прямых в систему и решив ее:

Отсюда координаты точки (см. рис. 2.5).

• Запишем уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным в каноническом виде

По условию радиус искомой окружности равен расстоянию от ее центра (точки ) до точки . В таком случае можно записать, что а следовательно и :

Заменив в уравнении окружности координаты центра на координаты точки а на получим искомое уравнение окружности:

На рис. 2.5 показано построение заданного треугольника , а также всех полученных линий и характерных точек в системе координат .

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

Помощь по математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Линейная зависимость и координаты векторов в математике

Линейные операции над векторами в координатной форме в математике

Уравнения прямой и плоскости в пространстве в математике

Уравнения линий второго порядка на плоскости в математике