Линейная зависимость и координаты векторов в математике

Линейная зависимость и координаты векторов

Линейной комбинацией векторов называют сумму их произведений на произвольные действительные числа :

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие действительные числа , не равные одновременно нулю, при которых линейная комбинация указанных векторов обращается в нуль:

Если линейная комбинация векторов обращается в нуль лишь при

то векторы называются линейно независимыми.

Заметим, что если хотя бы один из векторов , равен нулевому вектору , то система векторов будет линейно зависимой.

Можно доказать, что каждый вектор на некоторой прямой можно представить единственным способом в виде

где вектор называется базисом данной прямой, а число — координатой вектора в базисе .

Аналогично предыдущему можно доказать, что каждый вектор на некоторой плоскости можно представить единственным способом в виде

где упорядоченная пара неколлинеарных (т.е. линейно независимых) векторов называется базисом данной плоскости, а числа — координатами вектора в базисе .

Тогда каждый вектор трехмерного пространства можно представить единственным способом в виде

где упорядоченная тройка некомпланарных (т.е. линейно независимых) векторов называется базисом данного пространства, а числа — координатами вектора в базисе .

Заметим, что запись произвольного вектора в виде линейной комбинации векторов базиса называется разложением вектора по базису.

Часто используют стандартный базис из взаимно перпендикулярных единичных векторов, обозначаемый как (см. рис. 2.3). В декартовой прямоугольной системе координат векторы со-направлены с соответствующими осями координат и называются ортами. Тогда любой вектор единственным образом можно представить в виде их линейной комбинации с коэффициентами :

где числа — координаты вектора в базисе . С другой стороны, координаты вектора — это его проекции на соответствующие координатные оси. Вектор с координатами записывают в виде . Длина вектора а определяется по формуле

При известных координатах точек

координаты вектора вычисляются по формуле

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

Помощь по математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Декартовы координаты в математике

Векторы и операции над ними в математике

Линейные операции над векторами в координатной форме в математике

Уравнение прямой на плоскости в математике