Оглавление:
Третье достаточное условие экстремума.
- В-третьих, достаточно условий, крайностей. Установлено еще одно достаточное условие локальных экстремумов, пригодное для исчезновения второй производной функции в данной стационарной
точке. Это 7.3. Пусть PT>1-некоторое нечетное число, а y=f (x) — производная от n в окрестности точки C и производная от n+1 в точке C. Тогда, если выполняется соотношение f'(c)=f<2>(c)=… = / <«).(C)=0,f(n+D(c)+0, (7.3)
тогда функция y=f(x) имеет локальное Людмила Фирмаль
экстремальное значение в точке c, точнее f0 имеют локальный минимум. Д О К а з а т е л ь с т в о. так как теорема N=1 7.3 совпадает с уже доказанной теоремой 7. 2, необходимо сделать доказательство с n E h E t n o m n>3. Пусть нечетное число n удовлетворяет условию n>3, а для f (n+n (c)>0. Докажите, что функция y=f (x)имеет локальный
минимум в C. Поскольку/ ( » + ‘ ) (s)>0, то достаточным условием для увеличения функции 6.1 по теореме является функция f<K) (x) e до h t и e для z p. но тогда, поскольку/(«) (C)=0, она Если вы заметили это, вы можете разложить функцию f'(x) в окрестности точки C по формуле
- Тейлора и записать остаточные члены в виде Лагранжа(см. Главы 7 и 8, 6). У нас есть точка, которая становится G{x)=G (C) (X-C)+для каждого x из достаточно малой окрестности точек C между x и C… +(После) (с-2)! (X-C) n-2+ 1!268Ч. 7. Рассмотрим график функции Благодаря соотношению (7.3) письменное разложение принимает вид (7.4)) G
находится между x и C, то для каждого x из достаточно малой окрестности точки C, f (r, (s) (таким образом, нечетное n и правая часть целого (7.4)) отрицательно слева от C.、 Итак, с помощью уравнения (7.4) мы можем видеть, что дифференциал f'(x) для всех x из достаточно малой окрестности точки C отрицателен слева от C и положителен справа от C. В этой ситуации, благодаря первому достаточному условию экстремума (т. е. теореме 7.1),
функция y-f (x) имеет локальный минимум в точке C. F («+1) (c)<0 обрабатывается таким же образом. Те же рассуждения и выражение (7.4) В данном Людмила Фирмаль
случае позволяют заключить, что функция y-f (x) имеет локальный максимум в точке C. Z a m e h a n I e. очень важным требованием является n E h E t n O s t и число n теоремы 7.3. Если N четно и все остальные условия теоремы 7.3 сохранены, то в функции y=) (x) точки C экстремумов нет (по этой причине пункт 7.10 настоящей главы).
Смотрите также:
| Краевой экстремум | Производная логарифмической функции |
| Производные тригонометрических функций | Производные показательной и обратных тригонометрических функций |
