Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
В математическом анализе большое значение имеет группа теорем о существовании внутри интервала, где функция дифференцируема, точки. в которой производная обладает определенными свойствами.
Теорема Ролля. Пусть функция дифференцируема в интервале
, непрерывна на отрезке
и на концах этого отрезка принимает равные значения. Тогда внутри отрезка существует точка
, для которой
.
Доказательство. По теореме Вейерштрасса (глава IV. §5. пункт 3) функция достигает на отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений. Если
, то
. и в качестве точки с мы можем взять любое число интервала
, так как
. Если же
, то по крайней мере одно из этих значений достигается внутри отрезка. Для определенности предположим, что
и докажем, что точка с—искомая. Действительно, при малых приращениях аргумента
в точке с имеет место неравенство
, следовательно,
и
![](/wp-content/uploads/2020/03/image-40676.png)
Отсюда, использовав дифференцируемость функции в точке с и свойство 5) предела функции (глава IV, §4, пункт 2), получим:
![](/wp-content/uploads/2020/03/image-40677.png)
Таким образом. , что и требовалось доказать.
Геометрически доказанное утверждение означает, что на графике дифференцируемой функции между граничными точками, имеющими равные ординат ы, найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.
![](/wp-content/uploads/2020/03/image-40679.png)
Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке
и дифференцируема в интервале
. Тогда найдется точка с € (а, 6), для которой
![](/wp-content/uploads/2020/03/image-40682.png)
Для доказательства этой теоремы рассмотрим функцию
![](/wp-content/uploads/2020/03/image-40683.png)
которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, так как опа, очевидно, непрерывна па отрезке , дифференцируема внутри его и
. Тогда существует точка
, для которой
. Так как
![](/wp-content/uploads/2020/03/image-40688.png)
то
![](/wp-content/uploads/2020/03/image-40689.png)
Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что между граничными точками графика дифференцируемой в интервале функции всегда можно найти точку, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей граничные точки графика.
![](/wp-content/uploads/2020/03/image-40690.png)
Теорема Коши. Предположим, что функции непрерывны на отрезке
и дифференцируемы в интервале
. причем
. Тогда существует точка
, для которой
![](/wp-content/uploads/2020/03/image-40695.png)
Теорема Коши может быть доказана совершенно аналогично предыдущей теореме, если ввести в рассмотрение функцию
![](/wp-content/uploads/2020/03/image-40696.png)
Теорема Коши имеет тот же геометрический смысл, что и теорема Лагранжа, если мы рассмотрим параметрически заданную функцию
![](/wp-content/uploads/2020/03/image-40698.png)
аргумента z. Графиком этой функции является линия в плоскости . Хорда, соединяющая точки
имеет угловой коэффициент
а угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке
равен
(§2, пункт 2).
Тогда теорема Коши утверждает, что касательная к графику этой параметрически заданной функции в точке С параллельна хорде, соединяющей точки графика А и В.
Эта лекция взята со страницы онлайн помощи по математическому анализу:
Математический анализ онлайн помощь
Возможно эти страницы вам будут полезны: