Теоремы сравнения рядов

Оглавление:

Теоремы сравнения рядов

Теоремы сравнения рядов. Сходимость или дивергенция положительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, известным сходящимся или расходящимся. Это сравнение основано на следующих простых теоремах: Теорема 1. Дайте 2 положительных ряда 00. 2 ап-А1 ч» АР + … +п +•• * (а） Мне 1 год И 2&n ^ 1 + ^ 2 + … +и N + (Б） Н = 1 Если он начинается хотя бы с определенного места (например, неравенство: an * * b. C） Доказательство. Исходя из того, что отбраковка конечного числа начальных членов ряда не влияет на его работу[n°23b, 1°], i-1, 2, 3,…Вы можете предположить для всех значений класса, не теряя общности. Используйте ряды (A) и (B) сумм, an и VP1 соответственно. В.^ Сходимости ряда (Б).Тогда основная теорема [n°236]ограничивает сумму Bn. Bn ^ b(A = cn $ *; n = 1, 2, 3,…это не так.

Наконец, мы показываем еще одну теорему сравнения 1, которая также является следствием первой теоремы. Людмила Фирмаль

По предыдущим неравенствам, и даже АР Это сопровождается сходимостью рядов по той же теореме (а). На практике следующая теорема, которая следует из самого начала, может быть более удобной. Теорема 2.Если есть ограничения Простите? = К *)(0 АГ » ОО«）、 °П Для С<°° сходимость (A) ряда следует за сходимостью (B) ряда, а для 0 2-я дивергенция следует за дивергенцией первого ряда. [Таким образом, с 0 ^ / (^oo, оба ряда сходятся или оба расходятся одновременно.] Доказательство. Пусть ряд (B) сходится, и пусть K ^ oo. By крайнее определение, если взять любое число e]> 0, то η будет достаточно большим. | 5 AG + e, из которых «(AT + e) 6». °П на N°23b, 3°, в то же время, как ряд (B), ряд 2 (/T + b)^ n также сходится путем умножения этого члена с константой AT + e. из этого сходимость ряда (A) продолжается из-за предыдущей теоремы.

Если ряд (B) расходится и K> 0, то в этом случае обратная зависимость〜имеет конечное ограничение. Линии (а) Если он сходится, то, согласно доказанному, ряд (B) также сходится. * ) В данном случае мы предполагаем БНФ. 0. и°п Северный+ \» Миллиард ％ (3） Теорема 3.Если он начинается хотя бы с какого-то места (например, η>>), то неравенство Тогда сходимость(А) ряда означает сходимость (А) ряда. Или то же самое, но дивергенция (А) ряда означает дивергенцию (Б) ряда. Proof. As как уже говорилось выше, в доказательстве теоремы 1 неравенство (3) равно n = 1, 2, 3, не теряя общности… Вы можете предположить, что это действительно для всех значений в этом случае, это будет выглядеть так.

Если вы умножите эти неравенства на условия, вы получите: Сходимости ряда (Б).При этом ряд^ 1y * # l сходится、 один. Он излучается путем умножения члена на постоянный коэффициент Y. И по теореме 1, ряд (A) также сходится, если это необходимо. И Образцы. Два Н = 1 (н) 3(2л)! Сходиться. Теперь обратимся к примеру прямого применения теоремы сравнения для установления сходимости или дивергенции рядов. (л!3 n \ ^ 1 (2л)! 2-й•(2l-1)!! ^ 2-й (Теорема 1). И а) 2 л = * я Один Г ^ ТИ） Сходиться： Один Одно предприятие (l2 4-1） Я Л3 / с 5 2) сравнение с гармоническим рядом [n°236]устанавливает поведение многих рядов. Теорема 1： Ноль ноль (b)^(1пя) дивергенция Р: (1п») sufficient достаточна н = 2 Большой N; Кроме того, конечно, an и bn считаются ненулевыми.

Ноль ноль («) 2-4 ’^ НН Н № Йо ««)’ Большие детали 3) теорема к 2: 00 Сходиться： (1П я）！л л Я Один 1p1al Достаточно. (а) г $ 1Н-(0 ^ ^ -д) дивергенция:$ ж ^-> х \аналогично、 л-1 Он в отъезде. Ноль ноль Да. 2 1n（1 + ^）（*>（））、2（Л^ а-1) (а> 1）; 1-1 л-я (б) 211-co5^) конвергенция: И1-со $ ^ ’ Т• л-1 4) Наконец, рассмотрим серию 1А Ноль ноль Н = 1 Дифференциальное исчисление позволяет легко устанавливать неравенства. ЛН(1-3С) в(г ^ 0, −1 г; 1°°). Используя его, вы можете написать: 1Н^±~! = 1P(1 + 1 \ 1, I \ ’ I} I 9 И в то же время 。 Р 4-1, л 1Н-1 = 1Н-ГД г л + 1 л-1 1 Я + 1 ^ l (l + 1)^ l5 следовательно, члены этого ряда положительны и меньше Да.

Константа C в формуле (4) называется постоянной Эйлера. Людмила Фирмаль

Соответствующий член сходящегося ряда^ [n°236], л = 1 На самом деле, эта серия также сходится. Если сумма выражена в C, то частичная сумма 2 (1) А-1 )= Я» 1П(л + 1) с ЛН *±^ = «(ИП, как всегда, представляет собой частичные суммы гармонических рядов).Здесь вы можете заменить 1n (l + 1) на 1pl. Разница、 равное стремится к нулю. Наконец: показ Вырезать некоторые бесконечно малые и у нас есть отличная формула для Hn НП = \ НП-\ с \ \ 1Н ’ (4） вы можете видеть, что при бесконечном увеличении n частичная сумма HN гармонического ряда увеличивается как 1pl. Это число (которое может быть вычислено из других соображений) равно.

Числовые ряды. Простейшие теоремы.	Признаки Коши и Даламбера.
Условие сходимости положительного ряда.	Признак Раабе.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.