Теоремы о смешанных производных

Оглавление:

Теоремы о смешанных производных

Теоремы о смешанных производных. 。Если рассмотреть примеры 1) и 2), то поразительно совпадение смешанных производных, взятых в разных порядках, с одной и той же переменной. Например, рассмотрим следующую функцию / (•, У)-ху ррр (при* * ’ + Г*>°), /(°.° ) =>• У нас есть： ф (х, г)= г \ [п ^ г +(К + Г *>°>С GX(0,0)= 0. если вы зададите конкретное значение, равное нулю для x, то для y (включая y> = 0) оно будет/ ^(0, y)=-y. By дифференцируя это получаем функцию о y,/ hufu:)=. 1.От этого, в частности, в пунктах(0, 0): / huF * 0)=-1. Если вы вычислите k таким же образом в точке (0, 0), вы получите: Г; ВЧ> о) » 1. Следовательно, рассматриваемая функция/ xyΦ, 0) φ / определены в (o.Уо) в какой-то момент домен непрерывен, и в этот момент / ху( о, уд— / гг (хо»).

Следует отметить, что это не всегда соответствует определению смешанных производных, поскольку совпадение вышеизложенного не имеет места. Людмила Фирмаль

Доказательство. Подумайте о выражении лица. Ий / _ / (*о-м, У0-м)-/(х0 \ Б, Е) /(Х * е 4-л)〜/(Хо%е） НК Где k ненулевое, положительное, например, и & настолько мало, что оно содержит весь прямоугольник[xo, xy \ k \ To * To -!^ ]; Таким образом, он исправляет до конца аргумента. Здесь мы вводим вспомогательные функции X. ？（） /(.Г + + )-/(,К） К В интервале[x, x $ {k], благодаря 2), он имеет производную. это хорошая вещь. / x с . Йо + к) -/ Х(Х> йоу）？ (■) д Поэтому она непрерывна. С помощью этой функции можно определить выражение V? 1 [Г(* О + К, Г,+ к)-/(х0 + к, У0)__ / (о, е—л)-/(п0> У0） Л [в] Вы можете переписать его следующим образом. IV / P (0■+■k)p (L’o） IV-б.

Для функции ρ (π) интервала[x * π0+]] выполняются все условия теоремы Лагранжа[n°102], так что Формула 1 * 7 может быть преобразована следующим образом по формуле конечного приращения: НД=? (.* , +Щ+ +(*.+»） К Используя существование 2-й производной f (x, y), получаем выражение конечного приращения, на этот раз в интервале. Примените его снова к функции Yo + H Y-1x (xo + bA, y Мы получаем： Γ=Γ * Ax * + * b> V0 + M) (0, 01 1). (2） Но выражение^содержит x и k таким же образом, и y и A. следовательно, вы можете изменить их роли и ввести вспомогательные функции φ(г) + а, г) /(н0, м） С помощью подобных рассуждений вы получите результат. НХ = а(Х9 + е ва +%к) (0 Е4> Е3 1). (3） Из сравнения (2)и(3) видно, что: / ху (■»бын —^®®^)= / гг (Ыб» б е〜б-ба).

Теперь возьмем А и А до нуля и перейдем к пределу этого равенства. Из-за ограничения факторов 0, 0, 09 и 03, как правый, так и левый аргументы равны x0, соответственно… И 3) Спасибо, это выглядит так： / xy C * 0> yy)= / yy(#0″yy), необязательно. Таким образом, непрерывная смешанная производная/ xy y / yh всегда будет равна. В приведенном выше примере, эти производные +(]?© )} (’+г’> 0） нет абсолютно никаких ограничений на x + 0, y + 0, и поэтому они разрывны в точке(0, 0). в этом случае теорема, естественно, не применяется. Замечания. (1740).

Строгое доказательство впервые было представлено в 1873 году Шварцем **). Обратите внимание на связь между проблемой перестановок 2 производных и общей проблемой перестановок 2 экстремальных переходов, рассмотренных в разделе 131. Общая смешанная дифференциальная теорема также имеет место: теорема. функция переменной m η= f (x1,…предположим, что (X, xm) определяется в открытой m-мерной области и имеет все виды частных производных вплоть до (n — 1) и смешанных производных N-го порядка этого domain. In кроме того, все эти производные непрерывны.

Упоминание о равенстве смешанных производных и попытки доказать его до сих пор встречаются в законе Эйлера и Клэра. Людмила Фирмаль

В этих условиях величина N-й смешанной производной не зависит от порядка, в котором происходит непрерывное дифференцирование. Он не описывает доказательство, основанное на предыдущей теореме. Порядок непрерывной дифференциации становится безразличным, потому что он всегда предполагает непрерывность дифференциации. При использовании смешанных производных обычно собирают производные по одной и той же переменной.

Однородные функции.	Дифференциалы высших порядков.
Производные высших порядков.	Дифференциалы сложных функций.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.