Теорема Ривальса с примером решения

Оглавление:

Теорема Ривальса

Для выяснения кинематического смысла переносного ускорения рассмотрим движение твердого тела относительно неподвижной системы координат Oxyz. Подвижную систему Теорема Ривальса неизменно свяжем с твердым телом. В этом случае точки твердого тела не будут совершать никакого относительного движения относительно подвижной системы координат, относительная скорость и относительное ускорение этих точек будут равны нулю, и формула

Теорема Ривальса

установленная Ривальсом, будет определять абсолютные ускорения точек твердого тела. Здесь Теорема Ривальса — ускорение начала подвижной
системы координат (ускорение полюса), a — угловое ускорение тела.
Вектор

Теорема Ривальса

будем называть вращательным ускорением точек твердого тела.
Этот вектор направлен ортогонально к плоскости, проходящей через векторы Теорема Ривальса и r а его величина равна произведению модуля вектора на расстояние точки М до линии действия вектора
(рис. 71), т. е.

Теорема Ривальса

Определенное так вращательное ускорение точек твердого тела
может быть представлено теперь как касательное ускорение точки
твердого тела, вращающегося вокруг оси, совпадающей с линией
действия вектора Теорема Ривальса
Вектор

Теорема Ривальса

называют осестремительным ускорением точек
твердого тела. Нетрудно видеть, что вектор Теорема Ривальса не изменяет своих
величины и направления, если переносить вектор вдоль его линии
действия, т. е. если перенести начало вектора в точку, являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из точки М на линию действия вектора Теорема Ривальса то будет иметь место равенство

Теорема Ривальса

Раскрывая двойное векторное произведение, получим

Теорема Ривальса

или

Теорема Ривальса

откуда видно, что вектор осестремительного ускорения направлен
по Теорема Ривальса линии действия вектора а его величина равна
произведению квадрата угловой скорости вращения твердого тела на
расстояние точки М от линии действия вектора Теорема Ривальса . Это ускорение
определяется так, как будто твердое тело вращается с постоянной
угловой скоростью вокруг неподвижной оси, совпадающей с
линией действия вектора Теорема Ривальса . Отсюда получаем теорему.

Теорема Ривальса. Ускорение произвольной точки твердого тела складывается из ускорения полюса, вращательного и осестремительного ускорений.

Пример:

Конус II с углом при вершине Теорема Ривальса катится без скольжения
по внешней стороне неподвижного конуса I с углом при вершине причем

ось симметрии подвижного конуса вращается вокруг оси симметрии
неподвижного конуса с постоянной угловой скоростью Теорема Ривальса Определить абсолютное ускорение верхней точки М основания подвижного конуса, полагая, что радиус это основания равен r (рис. 72).

Решение:

Выберем в качестве полюса вершину конуса, остающуюся
неподвижной во все время движения. Будем иметь (рис. 73) Теорема Ривальса а ускорение точки М будет складываться из осестремительного и вращательного. Для определения этих составляющих ускорения прежде всего найдем величину и направление вектора мгновенной угловой скорости вращения подвижного конуса Нетрудно видеть, что общая образующая двух упомянутых конусов является мгновенной осью вращения подвижного конуса, поскольку точки подвижного конуса, лежащие на этой оси, имеют равные нулю скорости. Подвижный конус участвует в сложном движении. Он вращается вокруг своей оси симметрии, которая в свою очередь вращается вокруг вертикальной оси. Абсолютная угловая скорость вращения конуса равна сумме угловых скоростей переносного и относительного движений и определяется по правилу сложения векторов. Нетрудно найти н величину абсолютной угловой скорости (рис 73):

Теорема Ривальса

откуда получим

Теорема Ривальса

Угловое ускорение Теорема Ривальса равно производной от вектора по времени, взятой в неподвижной системе координат Очевидно, что конец вектора будет описывать окружность вокруг вертикальной оси, и скорость конца вектора » можно определить по формуле Эйлера