Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения

Оглавление:

Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения

Теорема о непрерывном соответствии между набором характеристических функций и набором функций распределения В §38 установлено, что существует взаимно-однозначное соответствие между набором функций распределения и набором их характеристических функций {/ $ (/)).

Это указывает на то, что это соответствие не только один к одному, но и один к одному. Определение 2. Последовательность функции распределения Fn (x) слабо сходится к F (x), Fn (x) => F (x), если Fn (x) — + F (x) \ в каждой последующей точке предельной функции. Если Fn (x) — функция распределения £ и F (x) — функция распределения £ «, то In слабо сходится к 5, иногда представляя £ n = Φ. Распространение.

Продолжить от слабой конвергенции P {* i <£ n <* 2> — * P {* i = I указывает, что сходимость FlJix) 0 ° 00 <Нет. n W Людмила Фирмаль

Поскольку F (x’X ^ <* Xffx «) и разность f (x, f) можно сделать сколь угодно малыми, lim Fn (x) ~ F (x) должен быть доказан из (29). P- + 00 Теорема 5. (Первая теорема Хелли) Мы можем выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность из любой последовательности функции распределения {Fn}. Доказательство. Пусть D = {x } — плотное счетное множество в любом месте линии.

Из ограниченной последовательности O ^ Fn (X ) ^ l выберите сходящуюся подпоследовательность Fin ( i), предел которой обозначается через F (xi). Выберите сходящуюся подпоследовательность F2n (x2) — * — F (x2) из ограниченной последовательности 0 ^ F \ n {x2. Затем выберите диагональную подпоследовательность Fnn (x) из Fnn (Xk) — * — F (xk). Любая точка xAei). По лемме 4 это означает Fnn (x) F (x).

Замечания. F (x) не может быть функцией распределения. Например, если Fn (x) = 0 равно x F (x) ^ 0. Теорема 6. (2-я теорема Хелли.) Если g (x) — непрерывная ограниченная функция на uFn \ x-line => > F (x), F (oo) -F (-oo) = r: if T0 с lim \ g (x) dFn () = \ g (x) dF (x). (30) Доказательство. Пусть a 0 Это можно сделать, потому что g (x) равномерно непрерывна на [a, b] t, а точки непрерывности F (x) всюду плотно расположены.

Определить функцию шага Для gt (x) = g (* k) на * <= (** _ „„ kk], | # α () — (()! 0, где F (-X) X X S -X + < + и 1 * |> X л л \ g (x) dF (x) — \ g (x) dFn (x) -X -x На основании (31) правая часть (32) может быть сделана сколь угодно малой, что доказывает теорему. Теорема 3 из теоремы 3. = f (t). Мы можем доказать, что эта сходимость равномерна на каждом конечном интервале /. Доказательство теоремы 4.

По теореме 5 вы можете выбрать подпоследовательность Fnn (x) => F * (x) из последовательности Fn (x). Докажите, что F * (*) является функцией распределения, то есть F * (oo) = 1, oo) = 0. Для этого мы используем неравенства + L / e + Afe / 2. (32) 1 я J / W4I 1 \ x -t t.Y (33) 1 / (/) Является ли характеристическая функция X> 0,%> 0. В частности, если X = 2 P {111 <*}> 2 (34) -1.

Докажите это (33). У нас есть Хх х 17-тг 5 Me »1 L = M Д.Ф. -X m Sl «ts (/ (| C *)) | + После этого оно становится (33). Людмила Фирмаль

По предположению, / (/) — ноль и непрерывность, поэтому для 0 > 1-е / 4. -t Поскольку fn (t) — + f (t) в каждой точке /, η> n0 tX \ fa (t) dt- \ f (t) dt -T (§ 24 Теорема 3 об измеряемой сходимости). Тогда n> Po -X Неравенство (34) P {1En1 <2 / m} = = Fn (2 / т) -Fn (-2 / т)> 2 (1-е / 2) -1 = 1-е, То есть Fn (2 / m) -Fn (-2 / m)> 1 — F ‘(+ oo) = 3 = 1, oo) = 0. Здесь мы докажем, что Fn => F. Предположим, что Fni> F. Тогда есть две подпоследовательности и Fn * => F * . Непосредственно по предельной теореме — но после этого теорема доказана. -T Т.Г. ^ 2

Различные виды сходимости случайных величин	Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых
Усиленный закон больших чисел	Теорема Ляпунова

Если вам потребуется заказать решение математической статистики вы всегда можете написать мне в whatsapp.