Свойства и доказательство пределов последовательностей

Изучим теперь основные свойства пределов сходящихся последовательностей.

Последовательность при всех называется подпоследовательностью последовательности

1) Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к пределу последовательности.

Доказательство очевидным образом следует из определения предела последовательности.

2) Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Действительно, предположим, что у последовательности существуют два различных предела . Выберем число столь малым, чтобы интервалы и не пересекались. По определению предела найдется номер такой, что

Полученное противоречие и доказывает утверждение.

Это свойство можно использовать доя того, чтобы доказать, что последовательность не имеет предела. В качестве примера рассмотрим упоминавшуюся в пункте 1 периодическую последовательность

Рассмотрим две ее подпоследовательности. При нечетном мы имеем: Следовательно, . Аналогично, если и, стало быть, .

Таким образом, пределы двух подпоследовательностей данной последовательности различны и, следовательно, она нс может быть сходящейся, так как иначе по предыдущему свойству пределы всех подпоследовательностей совпадали бы с пределом последовательности.

3) Сходящаяся последовательность ограничена.

Действительно, пусть . Тогда найдется такое натуральное число что

Полагая теперь будем иметь при всех натуральных :

т. е. последовательность ограничена.

Последовательность называется возрастающей (we убывающей), или убывающей (не возрастающей), если при всех натуральных выполняется неравенство или неравенство . Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

1) Монотонная, ограниченная последовательность сходится.

Пусть для определенности последовательность не убывает и ограничена сверху. По теореме 1, §2 последовательность имеет верхнюю грань sup Докажем, что

Зафиксируем произвольное . Так как верхняя грань является минимальной из мажорант, то при всех справедливо неравенство и существует натуральное для которого Поскольку последовательность не убывает, то последнее неравенство выполняется и при всех , что и завершает доказательство.

5) Если две последовательности сходятся к общему пределу, то к тому же пределу сходится и заключенная между ними последовательность.

Пусть . По заданному найдется номер , после которого а, следовательно, и . Свойство доказано.

6) Если последовательность сходится и при всех , то .

Пусть, для определенности, . Предположим, что, наоборот, . Выберем столь малым, чтобы выполнялось неравенство . Тогда, начиная с некоторого номера . Противоречие.

Сформулируем теперь свойства пределов последовательностей, связанные с арифметическими операциями над элементами этих последовательностей.

7) Если две последовательности сходятся, то сходятся также и последовательности причем

Если, кроме того. , то последовательность также сходится и

Докажем, например, последнее из этих свойств. Пусть . Так как , то, интервал можно выбрать столь малым, чтобы он не содержал нуля. Ввиду сходимости последовательности для всех имеет место неравенство . Отсюда, учитывая, что все также отличны от нуля, мы заключаем, что последовательность отделена от нуля, т. е. существует положительное число m такое, . Так как