Свойства действительных чисел. Основные подмножества множества действительных чисел

На этой странице мы перечислим основные свойства множества R действительных чисел. которыми оно полностью определяется. Многие из этих свойств известны из курса элементарной математики. При изложении мы будем также считать известными простейшие понятия теории множеств и принятые там обозначения.

Сформулируем сначала свойства, касающиеся операций сложения и умножения действительных чисел.

1) Коммутативность: .

2) Ассоциативность —

3) Существуют числа 0 (нуль) и 1 (единица) такие, что для любого .

4) Для любого существует противоположное ему число — , для которого 0. Если, кроме того, , то найдется также число (обратное данному) такое, что .

Число называется разностью действительных чисел и обозначается через . Аналогично, частным от деления чисел называется число которое обозначается через .

5) Дистрибутивность: .

Теперь остановимся на свойствах упорядоченности множества действительных чисел. Упорядоченность означает, что любые два действительных числа сравнимы, т. е. для них выполняется одно их трех соотношений: . Число называется положительным (отрицательным).

6) Транзитивность: из неравенств для действительных чисел следует неравенство .

7) Если для любого числа с.

8) Для любых положительных чисел произведение ab также положительно.

Отсюда и из свойств 5) и 7), в частности, следует, что. если , то .

Укажем еще одно важное свойство множества действительных чисел.

9) Полнота (непрерывность). Пусть А и В — произвольные числовые множества. Если для любых чисел выполняется неравенство , то существует число-разделитель с такое, что для всех .

Например, если множества А и В составляют рациональные числа, квадраты которых меньше и больше 2, соответственно, то разделителем здесь служит число .

Определим теперь основные подмножества множества действительных чисел.

а) Множество натуральных чисел N составляют числа

Такое определение множества натуральных чисел является основой метода математической индукции: если имеется утверждение , зависящее от произвольного натурального номера , то для его доказательства необходимо проверить его при , а затем, предположив. что оно верно для всех номеров, не превосходящих , доказать справедливость утверждения .