Случайные события и их вероятности с примерами решения и образцами выполнения

Из элементов конечного множества можно составить подмножества, соединения, группы элементов, которые могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и их порядком.

Размещения

Соединения из n элементов по m в каждом, которые отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком, называются размещениями.

Размещениями из трех элементов А, В, С по два в каждом являются АВ, АС, ВС, ВА, СА, СВ. Их число равно 6.

Число размещений из n элементов по m в каждом обозначается через Имеет место формула = n (n — 1)(n — 2)… (n — m + 1).

Перестановки

Соединения из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком, называются перестановками.

Перестановками из множества {А, В, С} являются соединения: ABC, АСВ, ВАС, ВСА, CAB, СВА. Их число равно 6.

Число перестановок из n элементов обозначается через . Имеет место формула

(принято считать 0! = 1).

Сочетания

Соединения из n элементов по m в каждом, которые отличаются друг от друга только самими элементами, называются сочетаниями.

Число сочетаний из n элементов по m в каждом обозначается через . Имеет место формула

При решении задач комбинаторики значительную роль играют следующие правила.

Правило произведения (умножения). Если объект А можно выбрать из данного множества m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Правило суммы (сложения). Если некоторый объект А может быть выбран из данного множества m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно (m + n) способами.

Правила умножения и сложения распространяются на случаи трех и более объектов.

Задачи с решениями

Задача:

Сколькими способами можно составить на день учебное расписание, в котором 6 предметов из 10?

Решение:

Если в качестве одного из возможных расписаний взять, скажем, БАГРИФ (биология, алгебра, геометрия, русский, история, физкультура), то любое другое расписание должно отличаться от него либо порядком предметов, либо самими предметами, т.е. речь идет о размещениях шести разных предметов из десяти. Их число равно

Ответ. 151200.

Задача:

Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5, 7 и 9?

Решение:

Одно из таких чисел — это 23579. Каждое новое число получается из этого перестановкой его цифр. Их число равно

Ответ. 120.

Задача о букетах:

Сколькими способами можно составить букет, состоящий из 5 цветков, имея в распоряжении 10 цветков?

Решение:

Два букета надо считать разными, если они состоят из разных цветков, их порядок не важен. Это означает, что речь идет о сочетаниях пяти цветков из десяти. Для того, чтобы определить число таких букетов, рассуждаем следующим образом. Представим себе, что составили всевозможные букеты из пяти цветков, число этих букетов обозначим через N. Возьмем один из них и выполним в нем всевозможные перестановки, число которых равно . Если во всех букетах выполнять аналогичные перестановки, то получаем число размещений из 10 по 5. Таким образом, Отсюда Это число и есть (см. выше).

Ответ 252.

Приведенным задачам присвоены названия для того, чтобы прочие задачи ассоциировать с этими.

Задача о расстановках:

Сколькими способами можно расставить на книжной полке 13 разных книг по математике, располагая их.

1) в произвольном порядке;

2) так, чтобы 4 книги по арифметике стояли рядом (в любом порядке);

3) так, чтобы 4 книги по арифметике стояли рядом (в любом порядке) и 6 книг по алгебре стояли рядом (в любом порядке);

4) так, чтобы 4 книги по арифметике стояли рядом (в любом порядке), 6 книг по алгебре стояли рядом (в любом порядке) и 3 книги по геометрии стояли рядом (в любом порядке)?

Решение:

1) Число способов расстановки 13 книг в произвольном порядке равно числу перестановок из 13 элементов (объектов): Pi3 = 13! = 6 227 020 800.

2) Представим себе, что 4 книги по арифметике связаны вместе. Тогда эту связку (пакет) можно принять за один предмет, а значит, всего нужно расставить 10 предметов (9 остальных книг и один пакет). Это можно сделать 10! способами. Вместе с тем связку (пакет) можно образовать 4! способами. Можем применить правило умножения: расставить все книги можно 10! • 4! = 87 091 200 способами. Отметим, что на самом деле книги по арифметике просто стоят рядом, а связку составляют только мысленно.

3) Представим себе, что из 4 книг по арифметике и 6 книг по алгебре образованы две связки. Тогда нам нужно расставить 5 предметов (две связки и три книги). Это можно сделать 5! способами В первой связке можно переставить книги 4! способами, а во второй 6! способами. Применяем правило умножения для трех объектов (см. примечание). Число способов расстановки книг равно 4! • 6! • 5! = 2 073 600.

4) В связках имеем 4!, 6!, 3! перестановок, а расставить на полке три связки можно 3! способами. Правило произведения дает для четырех объектов всего 4! — 6! • 3! • 3! = 622 080 способов расстановки.

Задача о разбиении:

Сколькими способами можно разбить 11 предметов на две группы так, чтобы в каждой группе было не меньше трех предметов (выбор одной группы однозначно определяет вторую)?

Решение:

Все возможности разбить 11 предметов на две группы представляются следующими разложениями: 11=3 + 8, 11 = 4 + 7,
11 =5 + 6 (возможности 11 = 6 + 5, 11 = 7 + 4 и 11 = 8 + 3 совпадают с предыдущими). Остается понять, сколькими способами можно выбрать 3, 4 или 5 предметов из 11. Поскольку порядок в выборе предметов не важен, то имеем дело с сочетаниями: соответствующие количества способов равны В данных условиях действует правило сложения для трех объектов. Следовательно, разбить 11 предметов на две группы так, чтобы в каждой было не менее трех предметов, возможно способами.

Ответ. 957

Задача о выходе из транспортного средства:

В лифт на первом этаже двенадцатиэтажного дома вошли 6 пассажиров. Сколькими способами они могут выходить из лифта на нужных этажах, начиная с третьего?

Решение:

Для одного из пассажиров имеется 10 возможностей выйти из лифта на одном из 10 этажей (от третьего до двенадцатого включительно). Другой пассажир имеет также 10 возможностей выйти из лифта. То же самое можно сказать и об остальных пассажирах. Тем самым применимо правило умножения, согласно которому получается способов выхода пассажиров из лифта.

Ответ. 1 000 000 способов.

Основные понятия теории вероятностей

1°. Опытом, или испытанием называют осуществление на практике какого-либо набора условий, при которых может наблюдаться изучаемое явление.

Результат испытания (опыта) называют событием, или исходом испытания.

События обозначают заглавными буквами А, В, С…..

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет в данном опыте.

Событие А называется случайным, если в результате испытания оно может произойти или не произойти.

Пример:

При стрельбе по мишени пуля может попасть в цель или не попасть. Здесь стрельба по мишени есть опыт, а попадание или непопадание в цель — событие.

Пример:

В урне 6 красных и 4 черных шара. Опыт (испытание) — изъятие одного шара из урны. Событие А: из урны извлечен красный шар — случайное событие; В: из урны извлечен цветной шар — достоверное событие; С: из урны извлечен черный шар — случайное; событие D: из той же урны извлечен белый шар — невозможное.

2°. Суммой событий А и В называется событие (обозначаемое А + В), состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий A и В, называют произведением событий и обозначают АВ.

Сумму и произведение можно распространить на три и более событий.

Случайные события называются несовместными, если в результате каждого испытания никакие два из них не могут произойти вместе. Два события называются совместными, если они могут произойти вместе

Случайные события называются равновозможным и (или равновероятными), если ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Пример:

Производятся два выстрела по мишени. Обозначим событие А — попадание по мишени при первом выстреле, событие В — попадание при втором выстреле. Тогда событие А + В означает попадание хотя бы при одном выстреле, а событие АВ — попадание при обоих выстрелах. События А и В — совместные, но, вообще говоря, не равновозможные.

3°. Каждое из равновозможных событий, которое не может быть разложено на сумму более простых, называется элементарным исходом.

Случайные события образуют полную группу событий, если в результате каждого испытания произойдет одно из них и только одно. Это значит, что события несовместны и наступление одного и только одного из них является достоверным событием.

Два несовместных события, образующие полную группу, называются противоположными. Если одно из них обозначено А, то другое обозначают . Для противоположных событий одновременно выполняются два условия: — достоверное событие, а — невозможное событие.

Пример:

При бросании игральной кости (кубик, грани которого занумерованы цифрами от 1 до 6) верхней гранью может оказаться любая из шести. Все шесть исходов испытания несовместны, а если кость правильная (симметричная и однородная), то эти исходы равновозможны, они являются элементарными исходами. Пусть — событие, означающее появление верхней грани с цифрой k (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6). События образуют полную группу. Сумма этих событий есть достоверное событие.

Пример:

Пусть опыт — стрельба по мишени. Событие А (попадание в цель) и событие , (промах) являются противоположными.

4°. Классическое определение вероятности случайного события: вероятностью события А называется отношение числа m элементарных исходов, благоприятных (благоприятствующих) для события А, к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

Отсюда следует, что для достоверного события А имеем m = n и
р(А) = 1, те. вероятность достоверного события равна единице. Если событие А невозможно, то m = 0 и р(А) = 0, т.е. вероятность невозможного события равна нулю. Если А — случайное событие, то и т.е. вероятность любого события удовлетворяет соотношению

5°. Если число возможных исходов испытания бесконечно, а исходы равновозможны, то вводят понятие геометрической вероятности. Пусть каждому исходу сопоставляется некоторая точка области , а благоприятным исходам — точки, лежащие в некоторой ее части . Тогда вероятность р(А) попадания точки в область определяется как отношение мер (mes) (длин, площадей, объемов) этих областей, т.е.

Пример:

Предположим, что точка случайно брошена в круг радиуса R (это испытание). Тогда вероятность того, что эта точка окажется на расстоянии от центра меньше r (это событие А) равна отношению площади меньшего круга к площади большего круга, т.е.

6°. Как классическое, так и геометрическое определения вероятности неприменимы, если результаты испытания не равновозможны. В этом случае пользуются статистическим определением вероятности.

Пусть в данной серии, состоящей из n испытаний, событие А произошло m раз. Относительной частотой события р*(А) в данной серии испытаний называется отношение числа опытов, в которых это событие произошло, к числу всех произведенных опытов, т.е.

При увеличении числа опытов n относительная частота р*(А) обладает свойством устойчивости в смысле уменьшения ее разброса.

Вероятностью события А называется число, вокруг которого колеблется относительная частота р*(А) при повторении длинных серий испытаний:

Равенство (4) тем более точно, чем больше число п испытаний в серии.

Пример:

Если по цели произведено 200 выстрелов и при этом зарегистрировано 180 попаданий, то относительная частота попаданий в цель (событие А) равна

Задачи с решениями

Задача:

В урне имеются два красных, пять синих и три белых шара. Найти вероятность того, что одновременно извлеченные два шара окажутся синими (событие А).

Решение:

В урне всего 10 шаров. Общее число всех элементарных исходов равно числу способов извлечения 2 шаров из 10: Число исходов, благоприятных для события A, равно числу способов извлечения 2 шаров из 5, т.е.

Таким образом, согласно формуле (1) имеем

Ответ.

Задача:

В урне 5 шаров с номерами от 1 до 5. Найти вероятность того, что номер вынутого наудачу шара не превышает 5 (событие A).

Решение:

Возможны следующие исходы: — вынут шар с номером 1, — шар с номером 2, и т.д. Число всевозможных исходов равно числу шаров, т.е. пяти. Так как номер любого шара не превышает 5, то число исходов, благоприятных для события А, равно числу всех исходов, т.е. m = n = 5 и искомая вероятность равна р(А) = 1 (следовательно, событие A — достоверное).

Задача:

Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого сорта (событие A), либо второго (событие В), либо третьего сорта (событие С). Что представляют собой следующие события: А + В, , АС, АВ + С?

Решение:

A + В — это событие, которое состоится при наступлении хотя бы одного из событий A и В — в нашем случае — это деталь первого или второго сорта.

— это событие, противоположное событию A + С (деталь первого или третьего сорта), значит, вынута деталь второго сорта.

АС — это невозможное событие, так как деталь не может быть одновременно и первого и третьего сорта.

АВ + С — сумма невозможного события и события С, равная С, т.е. это деталь третьего сорта.

Задача:

В урне 10 шаров, среди которых 2 красных, 5 синих и 3 белых. Найти вероятность того, что наудачу вынутый шар будет цветным (событие А).

Решение:

Возможны следующие исходы: — вынут красный шар, — вынут синий шар, — вынут белый шар. Число всех возможных исходов равно числу шаров, т.е. десяти, n = 10. Из них число исходов равно двум, — пяти, — трем.

Все десять исходов образуют полную группу, т.е. они равновозможны, причем вынимается один и только один шар. Поэтому эти десять событий являются элементарными, из которых для события А благоприятны семь, а именно два события и пять событий :
m = 7. Следовательно, по формуле (I)

Ответ. р(А) = 0,7.

Задача:

Из урны (условие задачи 4) извлекаются сразу три шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары окажутся синими (событие В).

Решение:

Число возможных исходов а число исходов, благоприятных для события так как три шара вынимаются из пяти синих, поэтому

( вычисляется по формуле для числа сочетаний).

Ответ.

Задача:

В партии из N изделий имеется меченых изделий. Выбирается наугад изделий из данной партии. Найти вероятность того, что среди этих п изделий будет ровно m меченых (событие А).

Решение:

Общее число случаев, среди которых может появиться событие А, равно

Для подсчета числа случаев, благоприятных для события А, рассмотрим выборку из n изделий, среди которых ровно m меченых. Общее число исходов, в которых m изделий из М могут войти в выборку, равно . Каждое такое сочетание меченых изделий может войти в выборку из n изделий, содержащую любое сочетание (n — m) изделий из (N — М) немеченых. Число различных сочетаний немеченых изделий в выборке равно Следовательно, общее число исходов, благоприятных для появления события A, равно

По формуле (!) получим:

Задача:

Из колоды в 36 карт наугад выбирают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них окажутся 2 туза (событие A)?

Решение:

Три карты из 36 можно выбрать способами, Два туза из четырех можно выбрать способами, и эта комбинация может сочетаться с любой из 32 карт, не являющихся тузом, т.е.

Таким образом

Примечание. Из определения следует, что вероятность события
есть обыкновенная дробь: Иногда трудно выписать точное численное значение этой дроби, например,

Поэтому мы предпочитаем в большинстве случаев превращать полученную дробь в десятичную с точностью до трех-четырех (иногда больше или меньше, исходя из смысла задачи) цифр после запятой, соблюдая правила округления чисел. Но в дальнейшем мы не будем записывать каждый раз знак приближенного равенства. Например,

Задача:

На отрезке OA длины L числовой оси Ох наудачу взята точка В(х). Найти вероятность того, что каждый из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую, чем

Задача:

Разобьем отрезок OA на четыре равные части (рис. 6.1).

Требование задачи будет выполнено, если точка В попадет на отрезок DE или СВ, совместная длина которых равна Следовательно, по формуле п. 5° получаем

Задача о встрече:

Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 ч и 13 ч. Пришедший первым ждет другого в течение мин , после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи (событие A), если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти наудачу, причем моменты прихода независимы? Рассмотреть частный случай течение указанного часа может произойти наудачу, причем моменты прихода независимы? Рассмотреть частный случай мин.

Решение:

Обозначим момент прихода (считая от 12 ч) одного из студентов через х, а другого студента — через у. Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство , которое эквивалентно следующему: или системе:

Изобразим х и у как декартовы координаты на плоскости, выбрав в качестве единицы масштаба 1 мин (рис. 6.2). Все возможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 60, а исходы, благоприятные для встречи, точками заштрихованной области, удовлетворяющими вышеуказанной системе неравенств. По формуле п. 5° получаем:

В частности, если мин, то

Задача:

Среди 4000 первых чисел натурального ряда имеется 551 простое число. Найти относительную частоту появления простого числа (событие А).

Решение:

По формуле (3) имеем:

Ответ. 0,138.

Задача:

Десять различных книг расставляются наудачу на одной книжной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом (событие А).

Решение:

Число n всех элементарных исходов опыта, в которых может наступить событие А, равно а число m исходов, благоприятных для события А, равно 9, так как две определенные книги окажутся поставленными рядом, если они занимают либо первое — второе места, либо второе — третье, и т.д., либо, наконец, девятое — десятое места на этой полке. Следовательно, вероятность события А равна:

Ответ. р(А) = 0,2.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема:

Если события попарно несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей, т.е.

Следствие:

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Следствие:

Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице:

Задачи с решениями

Задача:

Вероятность того, что стрелок, произведя выстрел, выбьет 10 очков, равна 0,4; 9 очков — 0,3; и, наконец, 8 или менее очков — 0,3. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков.

Решение:

Обозначим события и запишем соответствующие им вероятности:

А — попадание в 10, р(A) = 0,4;

В — попадание в 9, р(В) = 0,3;

С — попадание в 8 или менее, р(С) = 0,3.

А + В — попадание или в 10 или в 9, р(А + В) = ?

Так как события А, В, С несовместны, то по формуле (6) имеем:

Задача:

Для производственной практики 30 студентам предоставлены 15 мест в Москве, 8 мест — в Туле и 7 — в Воронеже. Какова вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в один город?

Решение:

Обозначим события и определим соответствующие им вероятности:

А — оба студента в Москве:

В — оба студента в Туле:

С — оба студента в Воронеже:

По формуле 6 имеем

Задача:

В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Какова вероятность извлечения цветного шара, если извлекается один шар?

Решение:

Вероятность вынуть красный синий- Вероятность появления цветного шара

Теорема умножения вероятностей

1°. События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Событие В называется зависимым от события А, если вероятность события В зависит от того, произошло событие А или нет.

Пусть А и В — два события, причем р(А) > 0 и р(В) > 0. Условной вероятностью р(В/А) события В при условии А называется вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло. Эта вероятность находится по формуле

Аналогично определяется условная вероятность события А при условии B

Пример:

В урне 7 белых и 3 черных шара. Условие опыта — каждый вынутый шар в урну не возвращается. Событие А: в результате первого опыта вынут белый шар, событие В: в результате второго опыта вынут белый шар.

Имеем Вероятность р(В) зависит от того, произошло событие А или нет. Если в результате первого испытания был вынут белый шар, то если в результате первого испытания был вынут черный шар, то . Значит, событие В зависит от события А. При этом

Для независимых событий

Теорема:

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого, при условии, что первое событие произошло:

Понятие условной вероятности и правило умножения обобщаются на случаи трех и более событий. В частности, в случае трех событий А, В и С имеет место равенство:

2°. Если событие В не зависит от события А, то условная вероятность события В при условии А равна безусловной вероятности события В: р(В/А) = р(В). Аналогично, если событие А не зависит от события В, то р(А/В) — р(А).

Для независимых событий А к В правило умножения имеет вид:

Пример:

В урне 7 белых и 3 черных шара. Условие опыта -каждый вынутый шар возвращается в урну. Событие А: в результате первого опыта вынут белый шар; событие В: в результате второго опыта вынут белый шар. Имеем (если бы первый шар был черным, то все равно )

Значит, события А и В — независимые. В таком случае вероятность появления белого шара оба раза равна

Если же из урны вынимаются друг за другом два шара и первый не возвращается в урну, то вероятность того, что оба раза появятся белые шары равна,

3°. События называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или не произошли какие-либо другие события этой совокупности.

Теорема:

Вероятность совместного появления n событий независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема:

О вероятности наступления хотя бы одного из п независимых событий. Пусть события независимы в совокупности (но могут быть совместны) и

Задачи с решениями

Задача:

В первой урне 2 белых и 10 черных шаров; во второй урне 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Решение:

Рассмотрим независимые события; А — извлечение белого шара из 1-й урны; В — извлечение белого шара из 2-й урны.Нас интересует событие АВ Имеем

По формуле (10) получим

Задача:

Вероятность сдачи студентом зачета равна 0,8. Если зачет сдан, то студент допускается к экзамену, вероятность сдачи которого равна 0,9. Найти вероятность того, что студент сдаст зачет и экзамен.

Решение:

Обозначим события: А — сдача зачета, В ~ сдача экзамена. Тогда АВ означает, что студент сдает и зачет, и экзамен. Событие В зависит от события А, поэтому р(A) = 0,8, р(В/А) = 0,9. По формуле (9) имеем р(АВ) = 0,8 • 0,9 = 0,72.

Задача:

В урне а белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой черный? (Вынутый шар в урну не возвращается).
Решение:

Обозначим события:
А — появление белого шара при первой выемке;
В — появление черного шара при второй выемке;
С- появление черного шара при первой выемке;
D — появление белого шара при второй выемке. Тогда:

АВ — первый вынутый шар белый, а второй — черный; CD — первый вынутый шар черный, а второй — белый, АВ + CD — вынутые шары разного цвета. По формулам (6) и (9) имеем:

Задача:

Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу купленных билета выигрышные

Решение:

Обозначим события- А — первый билет выигрышный; В — второй билет выигрышный; АВ — оба билета выигрышные. Событие В зависит от события А, поэтому по формуле (9) имеем

Задача:

Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6; для второго 0,7; для третьего 0,75. Найти вероятность по крайней мере одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение:

Введем события А, В и С, состоящие в том, что в цель попали соответственно первый, второй и третий стрелки. Событие А + В + С означает: «хотя бы один стрелок попадет в цель» . События А, В, С независимы в совокупности, поэтому по формуле (12) получим:

Задача:

Вероятность попадания в цель первым стрелком равна , а вторым Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что в цель попадут:

а) оба стрелка;
б) только один;
в) хотя бы один?

Решение:

Обозначим события:

А — попадание первого стрелка: ; обозначим

В — попадание второго стрелка; обозначим

Тогда:

AB — попадание двух стрелков
— попадание одного стрелка;
А + В — попадание хотя бы одного стрелка. События А и В — независимые.

События А и В — независимые.
а) По формуле (10):
б) По формулам (6) и (10):

Задача:

Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что для правильного соединения ему придется звонить не более трех раз.

Решение:
Обозначим события:
— абонент дозвонился с первого раза;
— абонент дозвонился со второго раза;
— абонент дозвонился с третьего раза. Тогда — абонент для набора правильного номера использовал не более трех попыток. А есть сумма трех несовместных событий.

При угадывании последней цифры номера в распоряжении абонента имеется 10 цифр от 0 до 9, среди которых одна верная. Поэтому

Если первый раз набрана неверная цифра, то для угадывания остается уже 9 цифр, среди которых одна верная. Следовательно,

Если и во второй раз набрана неверная цифра, то в распоряжении остается 8 цифр, среди которых одна верная, т.е.

По формулам (6) и (9) имеем:

Ответ 0,3

Задача:

В 28 экзаменационных билетов включено по два теоретических вопроса и по одной задаче. Студент подготовил 50 теоретических вопросов и сможет решить задачи к 22 билетам. Какова вероятность того, что, взяв наудачу один билет, студент ответит на все задания билета?

Решение:

Рассмотрим события:
— студент знает первый вопрос;
— студент знает второй вопрос;
— студент решит задачу;
— студент знает оба вопроса; Тогда — студент ответит на все задания билета. События и — зависимые, и — независимые.

Имеем

По формулам (10) и (9) получаем:

Ответ. 0,625

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема:

Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Следствие:

Если событие В зависит от события А, то

и из (13) следует:

Следствие:

Если события А и В независимы, то р(АВ) = р(А)р(В) и из (13) следует:

Следствие:

Если события А и В несовместны, то р(АВ) = 0, откуда следует:

Задачи с решениями

Задача:

Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7; вторым 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок поразит мишень.

Решение:

Обозначим события:

— первый стрелок поразит мишень;
— второй стрелок поразит мишень;
Тогда — хотя бы один стрелок поразит мишень. События и совместны и независимы, поэтому по формуле (15) имеем:

Задача:

В студии телевидения установлены 2 камеры, для каждой из которых вероятность того, что в данный момент она включена, равна р = 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

Решение:

Рассмотрим события:

— в данный момент включена первая камера;
— в данный момент включена вторая камера;
— в данный момент включена хотя бы одна камера. События — совместные и независимые, поэтому по формуле (15) имеем:

Задача:

Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия изделия стандарту равна 0,95. Найти вероятность того, что: а) из двух проверенных изделий оба будут стандартными, если события соответствия изделий стандарту независимы; б) из двух проверенных изделий только одно стандартное.

Решение:

а) Пусть и — события, означающие, что соответственно первое и второе изделия стандартны. Тогда
Следовательно

б) Если В — событие, означающее, что только одно из двух изделий стандартное, то При этом — вероятность нестандартности изделия. Поскольку несовместны, то р(В) = 2 • 0,95 • 0,05 = 0,095.

Ответ: а) 0,9025; б) 0,095.

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Т е о р е м а 6 (о полной вероятности). Пусть событие А может произойти лишь вместе с любым из событий образующих полную группу событий. Тогда событие А можно представить в виде суммы

а его вероятность определяется по формуле полной вероятности:

При этом события называются гипотезами, а их вероятности — вероятностями гипотез.

Формула Байеса. Предположим, что в условиях теоремы о полной вероятности произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. В таком случае доопытные (или априорные) вероятности гипотез

должны быть заменены на новые, послеопытные (или апостериорные) вероятности, которые вычисляются по формуле Байеса:

где вероятность р(А) определяется по формуле теоремы 6.

Формула Байеса следует из предположения о том, что событие А произошло одновременно с одной из гипотез, например, В таком случае.

Задачи с решениями

Задача:

Электролампы, поступающие в магазин, изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 45% общего количества ламп, второй 40%, третий 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго 80%, третьего 81%. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

Решение:

Рассмотрим события:

А — купленная лампа оказалась стандартной;
— купленная лампа изготовлена первым заводом;
— купленная лампа изготовлена вторым заводом;
— купленная лампа изготовлена третьим заводом.
Из условия следует:

Так как по теореме 6

то по формуле (8) имеем:

Задача:

В первой урне 4 черных и 16 белых шаров, во второй урне 2 черных и 5 белых шаров. Из первой во вторую переложили 3 шара, а затем из второй вынули один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение:

Рассмотрим события:

А — шар, извлеченный из второй урны, белый;
— из 1-й урны переложили во 2-ю 3 черных шара;
— из 1-й урны переложили во 2-ю 1 белый и 2 черных шара;
— из 1-й урны переложили во 2-ю 2 белых и 1 черный шар;
— из 1-й урны переложили во 2-ю 3 белых шара.

Так как событие А может наступить лишь при выполнении одной из попарно несовместных гипотез , , или , то по формуле полной вероятности (17) имеем:

Теперь подсчитаем вероятности, входящие в эту формулу. Сначала найдем вероятности гипотез. Задачу сформулируем так. В партии из
N = 20 шаров есть М = 4 черных. Из этой партии выбирают наудачу
n = 3 шара. Найти вероятность того, что черных шаров среди них будет ровно m = 0,1,2,3. Решение этой задачи дается формулой (5). Приведем результаты, полученные по этой формуле:

Осталось найти вероятности события A при условии реализации каждой гипотезы.

Если осуществлена гипотеза то во второй урне будет 5 белых и 5 черных шаров, поэтому

Аналогично найдем

Подставляя найденные вероятности в формулу (*), получим

Задача:

В магазин поступают изделия с двух фабрик, причем 40% из них изготовлены фабрикой №1, а остальные — фабрикой №2. Фабрика №1 дает 90% изделий первого сорта, а фабрика №2 75%. Какова вероятность того, что купленное наудачу изделие окажется первого сорта?

Решение:

Рассмотрим события:
A — изделие, купленное наудачу, первого сорта,
— изделие произведено на фабрике №1;
— изделие произведено на фабрике №2.
Так как событие A может состояться лишь при условии выполнения одной из гипотез или , то по формуле полной вероятности (17) имеем:

Найдем вероятности гипотез, входящие в эту формулу. Так как на каждые 100 поступивших в магазин изделий 40 изготовлено фабрикой №1 (40%), а остальные 60 — фабрикой №2, то

Подсчитаем вероятности события A, если реализованы гипотезы и . Условимся обозначать через событие, заключающееся в том, что купленное наудачу изделие первого сорта изготовлено фабрикой №1, аналогично событие изделие первого сорта изготовлено фабрикой №2. По условию задачи Подставляя найденные вероятности в формулу (**), получим: р(А) = 0,4 • 0,9 + 0,6 • 0,75 — 0,81

Задача:

Имеются две одинаковые урны. В первой урне 3 черных и 7 белых шаров, а во второй — 4 черных и 6 белых. Наудачу выбирается одна урна, и из нее наугад вынимается один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, то этот шар вынут из первой урны?

Решение:

Рассмотрим события.
— выбранный шар оказался белым;
— шар вынут из первой урны;
— шар вынут из второй урны. Так как событие А может состояться лишь при реализации одной из двух гипотез, вновь воспользуемся формулой (**).

Подсчитаем вероятности. Так как урн две, а шар вынут из наудачу взятой урны, то вероятность гипотез

Событие означает, что выбранный шар белый, причем вынут он из первой урны, где 7 белых и 3 черных шара, поэтому условная вероятность Аналогично Подставляя найденные вероятности в (**), получим:
р(А) — 0,5 • 0,7 + 0,5 • 0,6 = 0,65.

Событие означает, что выбранный шар вынут из первой урны, при условии, что этот шар оказался белым. По формуле Байеса (18) найдем искомую вероятность:

Задача:

борочный цех пользуется деталями, изготовленными на трех станках. При этом от первого станка цех получает 40% деталей, от второго 35%, от третьего 25%. Известно, что первый станок допускает 1% брака, второй 2%, третий 4%. Деталь, поступившая на сборку, оказалась бракованной. Определить вероятности того, что деталь поступила от первого, второго, третьего станков.

Решение:

Рассмотрим гипотезы:

А — поступившая на сборку деталь бракованная;
— деталь поступила от 1-го станка;
— деталь поступила от 2-го станка;
— деталь поступила от 3-го станка.
Имеем

Если осуществились гипотезы , , , то вероятности брака соответственно равны

По формуле полной вероятности (17) вычислим

Заметим, что полная вероятность брака состоит из трех слагаемых — вкладов трех гипотез. По формуле Байеса (18) имеем:

Повторные испытания. Формула Бернулли

1°. Производится серия из n независимых друг от друга испытаний. Предположим, что в каждом испытании некоторое событие А может наступить с одной и той же вероятностью р = р(А), или не наступить с вероятностью q = 1 — р. Требуется определить вероятность того, что событие А появится ровно k раз

Теорема:

Эта формула принадлежит Бернулли. Она удобна для применения при небольших значениях n , являясь частным случаем теоремы умножения.

2°. Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А, происходящее с вероятностью р = р(А) в каждом испытании, наступит от до раз включительно, равна

Имеет место равенство:

3°. Функция как функция переменной k, достигает своего максимального значения при некотором Число называется наивероятнейшим числом наступлений события А. Для числа ко имеет место оценка:

Задачи с решениями

Задача:

В урне 8 шаров, среди которых 5 белых. Из урны 8 раз вынимается шар и после регистрации его цвета возвращается обратно в урну. Найти вероятность того, что белый цвет был зарегистрирован 3 раза.

Решение:

Пусть событие А — появление белого шара при одной из 8 выемок. Тогда

Следует вычислить 3). Согласно формуле Бернулли (19):

Ответ. 0,101.

Задача:

Вероятность попадания мячом в кольцо при одном бросании равна 0,7. Найти вероятность того, что в пяти бросаниях будет попаданий в кольцо: а) не более трех; б) не менее четырех.

Решение:

Дано: n = 5; р = 0,7; q = 1 — р = 0,3. Требуется вычислить

Найдем сначала Имеем

События «не более 3 попаданий» и «не менее 4 попаданий» взаимно противоположны, поэтому

Ответ а) 0,5282; б) 0,4718.

Задача:

Найти наивероятнейшее число попаданий в кольцо в пяти бросаниях, если вероятность попадания мячом в кольцо при одном попадании равна р = 0,6.

Решение:

Имеем n = 5; р = 0.6; q = 0,4. Для числа ко получаем оценку:

Так как — целое число, то

Непосредственные вычисления приводят к значениям:

Наибольшее из чисел — это 0,3456; оно соответствует значению

Ответ. 3.

Задача:

Всхожесть семян составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5?

Решение:

Вероятность всхожести отдельного семени р = 0,9, поэтому q = 1 — р = 0,1 и по формуле Бернулли (19) имеем

Ответ. 0,124.

Задача:

Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах.

Решение:

По формуле Бернулли (19) имеем

Здесь неизвестна вероятность р попадания при одном выстреле. Для ее нахождения используем условие задачи.

Обозначим события:
— попадание при первом выстреле;
— попадание при втором выстреле;
— попадание хотя бы при одном из двух выстрелов. По формуле (12) найдем

откуда q=0,2 и p = 1 — q = 0,8 Следовательно, = 0,4096.

Ответ. 0,4096.

Задача:

Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,5. Найти вероятность того, что при 8 выстрелах мишень будет поражена от 5 до 7 раз включительно.

Решение:

По формуле (20) имеем:

Ответ. 0,3534.

Задача:

Среди некоторых изделий доля изделий высшего сорта составляет 31%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий?

Решение:

Известно, что р = 0,31; q = 1 — р = 0,69; n = 75. По формуле (22) имеем:

поскольку должно быть целым числом, то отсюда следует, что
Ответ. 23.

Формула Пуассона. Поток событий

1°. Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала (р < 0,01), то численная реализации формулы Бернулли становится сложной, хотя формула верна при любых n и р. В таких случаях можно пользоваться теоремой Пуассона.

Теорема:

Если 0 < р < 1, то

Эта формула принадлежит Пуассону и получается из формулы Бернулли переходом к пределу при

2°. Формула Пуассона применима для вычисления вероятностей событий, составляющих поток событий — последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Интенсивностью потока называется среднее число событий, которые происходят в единицу времени.

Простейшим, или пуассоновским называется поток событий, для которого вероятность появления к событий потока при интенсивности потока вычисляется по формуле Пуассона

Задачи с решениями

Задача:

Радиоустройство содержит 1000 элементов. Вероятность отказа любого элемента в течение некоторого времени Т равна
р = 0,004. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно 5 элементов.

Решение:

Имеем n = 1000, р = 0,004, q = 1 -р = 0,996, = рn = 4. Нужно вычислить Формула Пуассона дает:

Ответ. 0,1562.

Задача:

Среднее число заказов такси в час равно трем. Найти вероятности того, что за два часа поступят: а) 4 заказа; б) менее 4 заказов; в) не менее 4 заказов.

Решение:

Имеет место простейший поток событий: Формула Пуассона принимает вид

Вычисления имеют вид:

Ответ а) 0 1512; б) 0,1512, в) 0,8488.

Задача:

Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту, равно 4. Найти вероятности того, что за 3 минуты прибудут а) два самолета, б) менее двух, в) не менее двух самолетов.

Решение:

Имеем дело с простейшим потоком, для которого , поэтому по формуле (24) имеем:

б) Событие «прибыло менее двух самолетов» есть сумма событий «не прибыл ни один самолет» и «прибыл один самолет», которые несовместны По теореме сложения искомая вероятность равна:

(по определению 0! = 1).

в) События «прибыло менее двух самолетов» и «прибыло не менее двух самолетов» противоположны, поэтому

Ответ а) 0,0005; б) 0,0001; в) 0,9999.

Задача:

Среди семян ржи имеется 0,4% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

Решение:

По формуле Пуассона (23) найдем при

Ответ. 0,000055.

Формула Лапласа

1°. Численная реализация формул Бернулли и Пуассона при больших затруднительна. Этот пробел устраняет формула Лапласа.

Теорема:

Если в каждом из п независимых испытаний вероятность события А равна одной и той же величине р (0 < р < 1), то вероятность того, что событие А произойдет ровно к раз, приближенно выражается формулой

где

Формула Лапласа для связана с вычислением функции Лапласа при тех или иных значениях х. Функция протабулирована, и ее значения для некоторых х приведены в табл. 2 приложения. Отметим еще, что — четная функция, т.е.

при значениях х, больших, чем 4

2° Функция

называется интегральной функцией Лапласа, а — дифференциальной функцией Лапласа.

Функция Ф(х) используется для вычисления приближенного значения вероятности того, что событие А может произойти от до раз в n независимых испытаниях, если вероятность наступления А в каждом испытании равна р, 0 < р < 1.

Теорема:

Имеет место приближенное равенство

где

а число n велико.

Функция Ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х) = Ф(х). Ее значения для некоторых значений х даны в таблице 1 приложения.

Для значений х, больших, чем 5, значения Ф(х) близки к 0,5.

Теоремы 9 и 10 встречаются также под названием соответственно локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа.

Задачи с решениями

Задача:

Всхожесть семян данного сорта равна 90%. Определить вероятность того, что из 400 посаженных семян 350 дадут всходы

Решение:

Дано: n = 400, р = 0,9, q = 0,1, k = 350. Нужно вычислить

Заметим прежде всего, что численно реализовать формулы Бернулли и Пуассона непросто. Воспользуемся формулой Лапласа. Вычислим сначала

затем k — np = 350 — 400 • 0,9 = — 10 далее х = —10 : 6 = -1,667, а значение

находим из табл. 2 приложения (приходится интерполировать по соседним значениям). Окончательно имеем:

Ответ. 0,0167.

Задача:

Вероятность события А в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,3. Найти вероятность следующих событий:

1) событие А произойдет 100 до 130 раз включительно;
2) событие А произойдет не более 20 раз;
3) событие А произойдет не менее 200 раз.

Решение:

Дано: n = 400, р = 0,3, q = 0,7. Находим

1) Принимаем

Имеем

Здесь использовали нечетность функции Ф(х).

2) Принимаем Вычислим Имеем

3) Принимаем Вычислим

Имеем

Ответ. 1) 0,8475; 2) 0; 3) 0.

Задача :

Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке равна 0,4. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 26 деталей половина окажется высшего сорта.

Решение:

Нужно найти вероятность Ответ дает локальная теорема Лапласа (теорема 9). Приведем необходимые вычисления:

Задача:

Вероятность выигрыша на один билет лотереи равна 0.2. Каковы вероятности того, что из 100 билетов выигрыши выпадут: а) на два билета, б) хотя бы на один?

Решение:

а) По формуле (25) найдем

б) События «выигрыш выпал хотя бы на один билет» (к ^ 1) и «выигрыш не выпал ни на один билет» (к = 0) противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

Вероятность найдем по формуле (25) при k = 0, n = 100,
р = 0,02;

Функция четная, поэтому

Получаем

Ответ а) 0,2848; б) 0,1435; в) 0,8975.

Задача:

Вероятность того, что изделие не прошло проверку,
р = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажутся непроверенными от 70 до 100 изделий.

Решение:

Ответ на вопрос дает формула (26) интегральной теоремы Лапласа (теоремы 10). Имеем: n = 400, p = 0,2, q = 0,8. Поэтому

Использованы свойство нечетности функции Ф(х) и таблица для ее значений.
Ответ. 0,8882.

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности события

Пусть производятся n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна р(0 < р < 1). Тогда вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р не превышает по абсолютной величине заданного числа вычисляется по формуле

Задачи с решениями

Задача:

Вероятность наступления события А в каждом из 484 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота события А отклоняется от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение:

Дано: n = 484; р = 0,75; q = 0,25; = 0,03. По формуле (27) имеем:

Ответ. 0,872.

Задача:

Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900 изделий. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m стандартных изделий среди проверенных.

Решение:

Дано: n = 900; р = 0,9; q = 0,1; 0,95. Определим сначала отклонение относительной частоты от вероятности самого события. Максимальное значение этого отклонения можно вычислить из соотношения

По табл. 1 приложения определяем, что равенство Ф(t) = 0,475 имеет место при t = 1,96. А так как то отсюда

Остается решить относительно m неравенство

Последовательно имеем:

Поскольку m должно быть только целым числом, то после округлений получаем

Ответ. От 793 до 827.

Задача:

Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,8. Найти минимальное число деталей, которые следует отобрать, чтобы с вероятностью не менее, чем 0,96, можно было утверждать, что относительная частота появления стандартных деталей среди отобранных отклоняется по абсолютной величине от вероятности 0,8 не более, чем на 0,04.

Решение:

Дано: р = 0,8; q = 0,2; е = 0,04; где

Так как равенство Ф(t) = 0,48 имеет место при t = 2,05, то достаточно решить относительно n уравнение

Находим n = 420,25. Поскольку n — целое число, то необходимо брать
n = 421.

Ответ . 421.

Случайные события и их определение

Эксперимент. Элементарные исходы эксперимента

Всякое изучаемое в дальнейшем явление будем называть экспериментом. Для дальнейшего не важна его содержательная сторона эксперимента (предметом рассмотрения может быть физическое, химическое, социальное или иное явление), а важно то обстоятельство, что комплекс условий, обуславливающий рассматриваемое явление, может быть (по крайней мере, в принципе) воспроизведен сколько угодно раз. Важно также, что a priori возможно перечисление всех событий, которые могут наступить в случае осуществления указанного выше комплекса условий. В отдельных случаях эти события могут наступать или не наступать в разных комбинациях. Во множество исходов эксперимента включаются все возможные варианты появлений или непоявлений рассматриваемых событий. Таким образом, с каждым экспериментом мы связываем список всех заведомо возможных в этом эксперименте событий, что дает основание для следующего определения.

Определение:

Пространством элементарных исходов эксперимента будем называть произвольное множество :

Элементы множества будем называть элементарными случайными событиями или элементарными исходами, а само — пространством элементарных случайных событий.

При построении пространства элементарных событий, описывающего конкретный эксперимент, в список элементарных исходов включают элементарные исходы , удовлетворяющие требованиям полноты и несовместности. Первое из требований означает, что исходы, включенные в список, заведомо исчерпывают все возможные при однократном проведении эксперимента события; второе — что при однократном проведении эксперимента может произойти один и только один из исходов, включенных в список. Конечно, при составлении списка прибегают к разумной степени идеализации реального эксперимента.

Пример:

Пусть рассматриваемый эксперимент состоит в подбрасывании монеты. Пренебрегая возможностью того, что в итоге монета закатится в щель, встанет на ребро и т.п., выделим следующие два возможных исхода: Р — «монета упала вверх решкой», Г — «монета упала вверх гербом». Пространство элементарных исходов рассматриваемого эксперимента состоит из двух элементов,

Пример:

В урне находится m черных и n белых шаров. Эксперимент состоит в извлечении наудачу одного шара из урны. Один из вариантов пространства для этого эксперимента может быть следующим: в список включены два события Б — извлеченный шар белый и Ч — извлеченный шар черный,

Пример:

Из колоды игральных карт (52 листа четырех мастей: — пики, — черви, — бубны и — трефы, в каждой масти 13 листов — 1,2,… , Валет, Дама, Король; карта единичного достоинства носит название Туз) извлекают одну карту. Возможные списки при описании этого эксперимента могут быть следующими:

Здесь приняты следующие обозначения:

— извлечена карта масти пик; аналогично , , ;

1, 2,…, 10, В, Д, К — извлечена карта соответствующего достоинства; (скажем, 3 — извлечена тройка (пик, червей, бубей или треф));

Кт — извлечена картинка (к картинкам относятся карты Туз, Валет, Дама, Король);

Нкт — извлечена некартинка (карта достоинством от 2 до 10);

Кр — извлечена карта красной масти (черви или бубны);

Чр — извлечена карта черной масти (пики или трефы).

Пример:

Монету подбрасывают в одних и тех же условиях до тех пор, пока не появится герб. Пространство элементарных исходов этого эксперимента может быть задано следующим (бесконечным) списком:

здесь исход, обозначенный как

описывает ситуацию, когда впервые герб появился при n-м бросании монеты.

Пример:

Эксперимент состоит в наблюдении за временем безотказной работы некоторого агрегата. Идеализируя ситуацию, предположим, что мы умеем измерять любые, сколь угодно малые промежутки времени (в действительности, конечно, мы в состоянии измерять длительности только с точностью до некоторого «кванта» времени ). Тогда пространство элементарных исходов, отвечающее рассматриваемому эксперименту, может быть, например, задано следующим (континуальным!) списком:

Здесь исход описывает ситуацию, когда агрегат вышел из строя в момент , где — время начала наблюдения.

Как показывают приведенные примеры, в зависимости от потребностей исследователя один и тот же эксперимент может быть описан различными пространствами элементарных исходов.

Принятая выше схема описания реального эксперимента позволяет отождествлять однократное проведение эксперимента с выбором одного из элементов списка .

События

Следующее понятие, которое мы рассмотрим, это понятие события.

Событием будем называть любое подмножество А множества элементарных исходов .

Мы говорим, что в результате однократного проведения эксперимента событие А осуществилось, если был выбран элемент . Элементарный исход будем называть благоприятствующим осуществлению события А. Достоверное событие происходит при каждом осуществлении эксперимента, а невозможное событие не происходит ни при каком осуществлении эксперимента. Все остальные события с этой точки зрения занимают промежуточное положение между невозможным и достоверным. Невозможное событие будем обозначать символом .

Пример:

Опишем эксперимент , состоящий в извлечении одной карты из полной (52 листа) колоды игральных карт списком

(см. пример 3). Следующие подмножества множества Q5 образуют события в рассматриваемом эксперименте:

Пример:

Пусть эксперимент состоит в трехкратном подбрасывании монеты. Опишем его следующим списком

Примерами событий в этом эксперименте могут быть следующие:

Легко сообразить, что

в случае, когда множество исходов эксперимента конечно и содержит N элементов, множество всех возможных событий также конечно и содержит элементов.

◄ Действительно, событий, состоящих ровно из k «благоприятствующих» элементарных исходов будет Поэтому общее число всех возможных событий дается равенством

Пример:

Монету бросают до первого появления герба. Пространство элементарных событий опишем списком (см. пример 4)

В рассматриваемом эксперименте можно наблюдать, например, следующие события:

Пример:

Известно, что автобус приходит к остановке в некоторый момент времени t, заключенный между 9 и 10 часами утра Студент выходит на остановку в течение этого же промежутка времени. Эксперимент состоит в наблюдении за временем прихода к остановке автобуса и студента. Опишем множество элементарных исходов следующим списком

Здесь t — момент прибытия автобуса к остановке, — момент прибытия студента. Множество П представляет совокупность всех упорядоченных пар чисел , заключенных в промежутке от 9 до 10 каждое Если откладывать t по оси абсцисс, а — по оси ординат, то будет соответствовать множеству точек квадрата на плоскости (рис. 1 а). Рассмотрим событие

Это событие может быть описано теми точками квадрата, в которых (рис. 1 б).

Пример:

Пусть множество — время безотказной работы агрегата из примера 5. Множество

может быть отождествлено с множеством точек числовой полупрямой. Событие

изобразится отрезком этой полупрямой

Для дальнейшего важным является то обстоятельство, что уже в случае континуальных пространств элементарных событий запас возможных событий становится необозримым. Причем среди них могут быть и весьма экзотические.

Пример:

Канторово множество. Приведем пример экзотического множества, которое обладает на первый взгляд противоречивыми свойствами Рассмотрим отрезок [0, 1] Разобьем его на три равные части и удалим средний интервал, т е интервал (1/3, 2/3). У нас останется два отрезка — [0, 1/3] и [2/3, 1] С каждым из этих отрезков поступим аналогично: разделим на три равные части и удалим средний интервал После этого останется четыре отрезка С каждым из них поступим так же — получится восемь отрезков, и так далее до бесконечности. То, что останется после бесконечного числа выбрасываний, и есть канторово множество (на рис. 2 показана схема его построения). В него входят концы выбрасываемых интервалов, но интересно, что входит и еще много других точек Множество концов выбрасываемых интервалов счетно, в то время как канторово множество имеет мощность континуума.

Действительно, запишем числа из интервала [0, 1] в троичной системе счисления, т. е в виде

где цифра , стоящая в позиции после запятой, может быть нулем, единицей или двойкой. Выбрасываемые интервалы состоят из точек, соответствующих числам вида (1), в записи которых встречается хотя бы одна 1 Соответственно, канторово множество состоит из всех точек, описываемых числами вида (1), где каждое равно или 0, или 2. Следовательно, если мы сопоставим точке в троичной системе точку в двоичной системе, где то получим взаимно однозначное отображение канторова множества на весь отрезок [0, 1], и, значит, мощность канторова множества оказывается равной континууму Тем самым, в смысле мощности канторово множество «большое» Однако оно «маленькое» в смысле «размера» — его мера равна 0 Действительно, под-

считаем сумму длин выброшенных интервалов; она оказывается равной единице, т. е. длине всего отрезка [0, 1]:

Назовем числовое множество нигде не плотным, если в любом интервале можно указать отрезок, не содержащий ни одной точки данного множества. Интуитивно свойство «нигде-не-плотности» означает, что множество очень «разрежено» (таким будет, например, множество, состоящее из изолированных точек). Нигде не плотным будет также множество, содержащее только конечное число неизолированных точек. Назовем множество совершенным, если у него вообще нет изолированных точек. Такое множество должно быть «густым», а не «разреженным»; например, отрезок есть совершенное множество. Кажется невероятным, чтобы некоторое множество было бы нигде не плотным и совершенным одновременно, и тем не менее канторово множество именно таково: оно нигде не плотно, т. к. в любом интервале найдется точка, в троичной записи которой есть 1, а значит, и целый выбрасываемый интервал, и оно совершенно, т. к. в любой окрестности точки, в троичной записи которой есть только О и 2, найдутся другие точки с тем же свойством, т. е. изолированных точек в канторовом множестве нет. Перечислим еще раз рассмотренные свойства канторова множества:

1. Мощность канторова множества равна континууму.

2. Мера канторова множества равна нулю.

3. Канторово множество нигде не плотно.

4. Канторово множество совершенно.

Интуитивно кажется, что как первые два свойства, так и последние два противоречат друг другу.

Алгебра событий

Диаграммы Эйлера—Венна

Пусть — пространство элементарных исходов некоторого эксперимента, А, В, С,… — события, среди которых — достоверное событие и — невозможное событие. Выше мы уже отмечали, что каждое событие является подмножеством множества , а осуществление события А в эксперименте мы понимаем как принадлежность реализовавшегося в данном испытании элементарного исхода множеству А:

В дальнейшем это соглашение будем иллюстрировать следующим образом; пространство элементарных исходов (независимо от природы составляющих его элементов и мощности) будем изображать прямоугольником; элементарные случайные события—точками прямоугольника; события — подмножествами прямоугольника (рис. 3). В этой модели достоверное событие — множество всех точек прямоугольника; невозможное событие — пустое подмножество; испытание — выбор одной (ровно одной!) точки из прямоугольника, представляющей реализовавшееся в данном испытании элементарное случайное событие Такие иллюстрации носят название диаграмм Эйлера—Венна.

Совмещение событий

Определение:

Совмещением двух событий назовем событие, состоящее из тех и только из тех исходов, которые благоприятствуют событиям Ан В одновременно.

Обозначение: А В = АВ (А «и» В).

Ясно, что совмещение событий А и В имеет место (происходит) только тогда, когда события А и В происходят одновременно, т. е. элементарный исход реализовавшийся в данном испытании, принадлежит одновременно и событию А и событию В. Если у событий А и В нет общих элементарных исходов, они называются несовместными. Это обстоятельство будем обозначать так:

Совмещение любого числа событий можно рассматривать аналогично.

Пример:

— эксперимент, состоящий в извлечении карты из полной колоды (52 листа) игральных карт

Пример:

Проверяется партия телевизоров, содержащая 10 образцов Событие

состоит в том, что г-й телевизор дефектен Событие

— в том, что все проверенные образцы дефектны

Пример:

Релейная схема составлена из агрегатов и устроена так, как показано на рис. 4 Схема выходит из строя за время Т при одновременном выходе из строя за это время всех агрегатов Пусть — событие, состоящее в том, что і-й агрегат вышел из строя Тогда событие А — «схема вышла из строя» — является совмещением событий

Пример:

Релейная схема составлена из агрегатов и устроена, как показано на рис. 5. Схема работает безотказно в течение времени Т, если все агрегаты в течение этого времени работают безотказно. Пусть — событие, состоящее в том, что j-й агрегат в течение времени Т не вышел из строя. Тогда совмещением событий будет событие В — «схема работает безотказно в течение времени Т».

С использованием диаграмм Эйлера—Венна операцию совмещения событий можно изобразить так, как показано на рис. 6. Отметим два очевидных свойства операции совмещения:

1.

2.

2.3. Подчиненность событий

Будем говорить, что событие В подчинено событию А и записывать это отношение как

если осуществление события А влечет за собой осуществление события В, т.е. все исходы А являются исходами В, но у В возможны исходы, не являющиеся исходами А (рис. 7). По определению положим также, что для любого А.

Отметим, что события, происходящие в эксперименте , упорядочены лишь частично — отношение подчиненности определено не для любой пары событий.

Имеют место следующие соотношения:

Свойства 1 и 2 очевидным образом следуют из определений. Свойства 3 и 4 легко усмотреть из диаграмм Эйлера—Венна, приведенных на рис. 8.

Пример:

В эксперименте с извлечением карты из полной колоды игральных карт (52 листа) событие

Пример:

В этом же эксперименте события В = {«извлечена карта-картинка»} и С = {«извлечена карта черной масти»} не состоят друг с другом в отношении подчиненности.

Сумма событий

Определение:

Суммой двух событий назовем событие, состоящее из элементарных исходов, входящих в А или в В.

Обозначение: (А «или» В).

Событие, являющееся суммой событий А и В, происходит, если произошло по крайней мере одно из этих событий — или произошло А, или произошло В, или оба этих события произошли вместе. Диаграммы, иллюстрирующие эту операцию над событиями, приведены на рис. 9.

Сумма произвольного числа событий определяется аналогично. В случае несовместности событий А и В вместо знака объединения «» часто употребляют знак суммы «+»(рис. 10).

Отметим следующие соотношения:

Последние два из них — свойства дистрибутивности умножения относительно сложения и сложения относительно умножения — нуждаются в доказательстве. Покажем, как это делается, на примере соотношения 4.

◄ Событие состоит из тех элементарных исходов, которые входят или в А, или в , или в оба этих события одновременно (рис. 11). Следовательно, событие происходит, когда происходит либо событие А, либо события В и С одновременно. Но если произошло А, то произошло , а, значит, они оба, т. е. Если же осуществилось , то осуществились вместе: Следовательно,

С другой стороны (рис. 12), события происходят одновременно, если происходит событие А, либо, если А не произошло, то одновременно должны произойти В и С. Следовательно,

Вместе с полученным выше отношением подчиненности это дает искомое утверждение. ►

Пример:

Пусть в эксперименте с извлечением карты из полной колоды (52 листа) игральных карт событие А = {«извлечена карта черной масти»}, а событие В = {«извлечена карта-картинка»}, тогда их сумма — событие, состоящее в том, что извлечена карта черной масти или красная картинка

Пример 8. Релейная схема составлена из агрегатов как показано на рис 13 Пусть события состоят в том, что одноименные агрегаты работают безотказно в течение времени Т, a U — событие, состоящее в том, что схема работает безотказно в течение времени Т Тогда

Противоположные события. Тождества де Моргана

Определение:

Событием, противоположным событию А, назовем событие, состоящее из тех исходов , которые не входят в А.

Обозначение: («не А»).

Событие «не А» происходит всегда, когда не происходит А (рис. 14).

Ясно, что

Кроме того,

Имеют место следующие тождества (тождества де Моргана):

которые легко обобщаются на случай конечного числа слагаемых (сомножителей)

Доказательство тождеств де Моргана легко усмотреть из рис. 15 и 16 соответственно.

Пример:

Релейная схема составлена из элементов как показано на рис. 17. Схема выходит из строя за время Т, если за это время выйдет из строя по крайней мере один из элементов

Обозначим теми же буквами 2,…, n, события, состоящие в том, что j-й элемент схемы за время Т из строя не вышел. Тогда событие U, состоящее в том, что схема не выйдет из строя за время Т, описывается соотношением

а событие — «схема выйдет из строя за время Т» — будет выглядеть так

Пример:

Релейная схема составлена из элементов так, как показано на рис. 18. Схема выходит из строя за время Т, если за это время выйдут из строя все элементы Пусть события — те же, как и в примере 9. Тогда имеем

Разность событий

Определение:

Разностью событий будем называть событие, состоящее из всех тех элементарных исходов, которые входят в Л, но не входят в В.

Обозначение: А \ В (A «без» В).

Это событие происходит только тогда, когда происходит A, но не происходит В, т.е. (рис. 19). Ясно, что (рис. 20)

В заключение этого краткого обзора правил действий над событиями отметим, что если

— бесконечная последовательность подчиненных событий, то существует событие , которому подчинены все

Это событие происходит тогда, когда одновременно происходят все события . Этот факт будем записывать так

Если же

то существует событие , которое подчинено всем

В этом случае будем использовать также и символ lim

Вероятность. Случайные события

Пусть — пространство элементарных исходов некоторого эксперимента п и А — событие. В результате однократного испытания событие А происходит или нет в зависимости от того, принадлежит событию А реализовавшийся в этом испытании исход или не принадлежит. Наша ближайшая задача состоит в указании способа числовой оценки правдоподобности осуществления или неосуществления события А в эксперименте .

Пусть Р{А} — вещественная числовая функция, приписывающая каждому событию А число — степень его осуществимости в эксперименте . Опишем предварительно некоторые интуитивно ясные свойства такой функции. Как говорилось выше, любое событие А (с точки зрения шансов на осуществимость) занимает промежуточное положение между невозможным событием , которое не происходит никогда, и достоверным событием , которое происходит всегда. Разумно считать в связи с этим, что

Припишем невозможному событию оценочное нулевое значение

а достоверному событию — значение единица

Столь же естественно считать, что если событие А влечет за собой событие , так как осуществление события А всегда вызывает осуществление события В; в то же время возможно осуществление В без осуществления А.

Отметим, наконец, еще одно естественное свойство: если А и В — пара несовместных событий, то степень достоверности осуществления события А + В должна быть равна сумме соответствующих оценок для А и для В

Если бы такая функция Р была бы построена, то она давала бы нам некоторую информацию об осуществимости событий: априорное осуществление события А тем более вероятно, чем больше оценочное значение Р{ A} ему приписано; из двух событий заведомо скорее следует ожидать осуществления в эксперименте того, для которого значение Р больше.

Ниже мы увидим, что если функцию с указанными свойствами удается построить, то она обязательно имеет очень простой (частотный) смысл (см. Закон больших чисел в форме Бернулли).

Вероятность события

Пусть — эксперимент и A — событие, которое может происходить в этом эксперименте. Вероятностью события А будем называть числовую функцию Р{А], обладающую следующими свойствами:

1. (свойство нормировки); (1)

2. если только (свойство
счетной аддитивности). (2)

Из определения немедленно следует, что если функция со свойствами (1) и (2) может быть построена на множестве событий, происходящих в эксперименте , то она обладает дополнительно следующими свойствами.

1. Конечная аддитивность

2. Правило вычисления вероятности противоположного события

◄ Поскольку то

3. Монотонность вероятности

◄ Действительно, В = (В \ А)+ А (рис. 21), при этом . По правилу сложения (2) имеем

Из того, что , следует искомое. ►

4. Правило вычитания вероятностей

5. Правило сложения вероятностей

◄ Доказательство следует из представления

(рис. 22), где , к которому нужно только применить свойство конечной аддитивности 1 и правило вычитания вероятностей 4. ►

6. Непрерывность вероятности. Пусть

и

Тогда

◄ Положим и рассмотрим очевидное тождество

Поскольку, как легко проверить,

то, применив правило сложения (2) к указанному тождеству, получим

где

В силу сходимости приведенного выше ряда

Но

откуда

Остается установить, можно ли такую функцию определить для всех возможных в эксперименте событий.

Вероятность в экспериментах с дискретной структурой

Будем называть эксперимент экспериментом с дискретной структурой или просто дискретным экспериментом, если множество его исходов не более чем счетно,

Для дискретных экспериментов рассмотренная выше схема определения вероятности, как будет сейчас показано, всегда осуществима. Действительно, пусть F — совокупность всех возможных в эксперименте событий, в которую включены, конечно, и невозможное событие , и достоверное ,

Пусть — произвольный счетный набор действительных положительных чисел, таких, что ряд

сходится и его сумма равна 1. Положим по определению

Всякое событие Л из совокупности F состоит из не более чем счетного числа элементарных исходов

Определим его вероятность Р{А} следующей формулой

Легко видеть, что при таком способе задания вероятности каждому событию будет приписана вероятность (при помощи равенства (9)), удовлетворяющая требованиям (1) и (2).

Отметим, что теория вероятностей как математическая дисциплина начиналась с задач, описываемых конечными пространствами элементарных исходов

и одним из основных предположений, положенных в основание теории, было предположение о равновозможности всех элементарных исходов:

Учитывая требования (1) и (2), предъявляемые к вероятности, равновозможность элементарных исходов и конечность эксперимента, т. е. приходим к следующему правилу вычисления вероятностей:

Вероятность любого события А равна отношению количества исходов эксперимента , благоприятствующих осуществлению события А, к общему числу всех элементарных исходов .

Это так называемое классическое определение вероятности. Однако еще раз подчеркнем, что приведенное выше правило вычисления вероятностей справедливо лишь в экспериментах с конечным числом равновозможных исходов.

В приложениях важнейшим вопросом является вопрос об источнике «начальных» вероятностей Теория никаких указаний по этому поводу не дает — «правильным» с точки зрения теории является любой способ задания вероятностей , лишь бы выполнялись условия положительности и нормировки . Другое дело, насколько хорошо тот или иной способ задания вероятностей соответствует содержанию конкретной задачи. Рассмотрим нескольких примеров.

Пример:

Пусть

— пространство элементарных исходов эксперимента, связанного с бросанием монеты. Принятое выше определение позволяет приписать исходам Г и Р любые значения р = Р{Г} и q = Р{Р}, лишь бы Однако, когда речь идет о конкретном эксперименте с конкретной монетой, то принятое распределение вероятностей должно соответствовать индивидуальным характеристикам именно этой монеты и этого эксперимента. Например, если монета физически симметрична, то следует ожидать, что в эксперименте шансы на появление исхода Г и исхода Р должны быть одинаковы, т. е.

а это немедленно влечет за собой

т. к. р + q = 1. Если же монета несимметрична (например, смещен центр тяжести), то следует ожидать, что один из двух возможных исходов эксперимента будет появляться чаще другого (та сторона монеты, к которой смещен центр тяжести, будет выпадать реже). В этом случае , и следует так задать р и q, чтобы соотношение шансов на появление исхода Г и исхода Р соответствовало обнаруженной асимметрии. В простейших ситуациях вневероятностные соображения (физическая симметрия эксперимента, равновозможность и т.п.) обычно дают указание на то, как именно следует задавать вероятностные распределения . Эти соображения, конечно, не дают ответа на вопрос о соответствии выбранных значений конкретной ситуации, а являются лишь наводящими. Для установления адекватности принятой вероятностной модели реальному эксперименту следует прибегнуть к специальным статистическим процедурам, о которых будет сказано ниже.

Пример:

В урне лежит m+n шаров, m — черных, n — белых. Эксперимент состоит в извлечении одного шара из урны. Найти вероятность извлечения черного (белого) шара.

Предположим, что все шары физически идентичны, тщательно перемешаны и извлекаются «случайным образом» (последнее предположение является интуитивным предположением о честности экспериментатора и отсутствии закономерностей, по крайней мере осознанных, в очередности извлечения черных и белых шаров). Тогда резонно предполагать, что вероятность извлечения шара фиксированного цвета должна быть пропорциональна количеству шаров данного цвета и

Поскольку события

и

противоположны и несовместны , имеем

и

Вместе с соотношением, приведенным выше, это дает для искомых вероятностей следующие значения

2. Предположим, что все шары физически идентичны, тщательно перемешаны и извлекаются «случайным образом». Мысленно перенумеруем все шары и опишем рассматриваемый эксперимент следующим списком элементарных исходов

где — события, состоящие в извлечении j-го белого или i-гo черного шара, соответственно. Предположения об идентичности шаров и условиях их извлечения делают разумным предположение о равновозможности всех элементарных исходов в эксперименте ,

Из условия нормировки

немедленно следует, что

Событие Б = {«извлечен белый шар»} описывается следующим списком благоприятствующих ему элементарных исходов

В соответствии с соотношением (9)

Пример:

Эксперимент состоит в одновременном бросании п симметричных монет. Найти вероятность того, что ровно на монетах выпадет герб.

Опишем пространство элементарных исходов рассматриваемого эксперимента списком , составленным из всех упорядоченных наборов символов Г и Р длины n;

Каждый элементарный исход описывает результат одновременного испытания п монет, причем на j-м месте стоит Г или Р (в зависимости от того, гербом или решкой завершилось испытание j-й монеты). Предполагая, что испытания различных монет не оказывают влияния друг на друга, и учитывая симметричность монет, будем считать все исходы равновозможными. Поскольку их всего , то из правила сложения и условия нормировки вероятности получаем

Событие

описывается списком, составленным из тех элементарных исходов, которые содержат ровно k символов Г (и, соответственно, n — k символов Р). Например, в эксперименте с 4 монетами

Число способов, которыми можно расставить к символов по п позициям, , и есть количество элементарных исходов, содержащих ровно k символов Г, поэтому в соответствии с соотношением (9)

Пример:

В условиях предыдущего эксперимента найти вероятность того, что не более чем на k монетах выпадет герб.

Пусть искомое событие . Тогда очевидно, что

и по правилу сложения

Вероятность в экспериментах с недискретной структурой

В случае экспериментов, множество исходов которых более чем счетно, реализовать рассмотренную схему построения вероятностей в том виде, как она была описана в п. 3.1, уже нельзя. Дело в том, что требование (2) — аддитивности вероятности — делает невозможным приписывание вероятностей абсолютно всем событиям, которые могут происходить в эксперименте.

Пример:

Эксперимент состоит в случайном выборе точки из отрезка . Случайность здесь понимается как равновозможность выбора точки из любого подотрезка , независимо от того, в каком месте отрезка [а, b] этот подотрезок расположен. В этой ситуации естественно считать, что вероятность выбора точки из любого подотрезка пропорциональна его длине

Оказывается, однако, что в рассматриваемом случае существуют события (т. е. подмножества множества [а, b]), которым не удается разумным образом приписать вероятность так, чтобы она была согласована с определением, принятым выше. Возьмем для определенности а = — 1, b = 2, т. е. рассмотрим отрезок [-1,2]. Для любого через обозначим множество таких , что т. е. х — у — рациональное число. Получаем некоторую совокупность множеств из [0, 1]. Ясно, что любые два множества или не имеют общих точек, или совпадают. Действительно, если и отсюда следует, что или . Следовательно, . Значит, отрезок [0, 1] разбит на непересекающиеся подмножества. Выберем из каждого подмножества разбиения по одному элементу и обозначим через А совокупность всех выбранных элементов. Пусть событие А состоит в выборе точки из множества — вероятность этого события. Пусть — рациональные числа из отрезка [0, 1]. Заметим, что если. По свойству (2), которым должна обладать вероятность, имеем

Но этот предел не существует, если Р{Л} > 0, и равен нулю, если Р{Л} = 0. Последнее, однако, невозможно, так как

и в силу монотонности вероятности

Отсюда следует, что приписать событию А вероятность разумным образом невозможно. Поэтому, либо следует отказаться от требования аддитивности, предъявляемого к вероятностной функции, либо сузить класс событий, подлежащих рассмотрению из числа происходящих в эксперименте, но сохранить свойство (2).

В современной теории вероятностей принят последний подход. Помимо чисто математических соображений, это вызвано тем обстоятельством, что в реальной ситуации всякий эксперимент допускает лишь дискретное описание. Недискретные модели — удобная математическая абстракция, идеализация ситуации, но хотелось бы, чтобы идеализированная модель вероятностного описания эксперимента включала в себя важнейшие черты и характеристики, присущие реальному эксперименту, а поскольку дискретные вероятностные модели, обладающие свойством аддитивности, на практике себя зарекомендовали как весьма полезные и эффективные при прогнозировании явлений, природа которых случайна, то резонно свойство аддитивности вероятностной функции сохранить и в моделях, структура которых более сложна, чем дискретная.

«Подправленная» в соответствии с приведенными выше соображениями схема вероятностного описания экспериментов выглядит так.

Пусть — пространство элементарных исходов эксперимента. Выделим среди всех возможных в эксперименте событий некоторую совокупность событий , обладающих следующими свойствами:

Заметим, что из указанных свойств совокупности вытекает, например, что (т. к. из равенств де Моргана следует ), а также (т. к. ).

Совокупность событий, обладающую свойствами 1-3, называют —алгеброй (сигма-алгеброй) событий.

Вероятность, удовлетворяющую требованиям неотрицательности, нормировки и счетной аддитивности, в соответствии со схемой п. 3.1 определим теперь не для всех событий в эксперименте, а для входящих в сигма-алгебру . Эти события называются случайными событиями, происходящими в эксперименте .

Практически построение -алгебры случайных событий осуществляется для конкретного эксперимента следующим образом:

в эксперименте выделяется некоторая совокупность событий, важная с точки зрения исследователя и называемая в дальнейшем совокупностью «наблюдаемых» событий;

множество «наблюдаемых» событий расширяется за счет добавления в него всех отрицаний и не более чем конечных объединений событий из числа «наблюдаемых»;

для всех событий из полученной совокупности определяют вероятность, удовлетворяющую требованиям неотрицательности, нормировки (1) и счетной аддитивности (2);

строится — наименьшая -алгебра, включающая в себя все указанные выше события (такая всегда существует) и определяются вероятности всех событий, входящих в , с сохранением определения вероятности, уже принятого для порождающей совокупности наблюдаемых событий (это также всегда возможно, причем единственным способом).

Реализация этой программы для недискретных экспериментов произвольной природы достаточно сложна и громоздка как с идейной, так и с технической точки зрения, чтобы быть приведенной в этой книге. Мы остановимся здесь лишь на случае экспериментов, множество элементарных исходов которых может быть описано точками некоторого подмножества .

Числовая прямая

Допустим, что множество исходов эксперимента может быть описано множеством точек некоторого интервала (полуинтервала, отрезка) (а, b) на числовой прямой — каждому исходу поставлена в соответствие точка и, наоборот, каждой точке отвечает некоторый элементарный исход (случаи , не исключаются).

Однократное проведение эксперимента будем интерпретировать как выбор точки из промежутка . «Наблюдаемыми» в этом эксперименте событиями будем считать события, состоящие в выборе точки из интервала. Расширим множество «наблюдаемых» событий (так, как было указано выше), добавив к нему события, получающиеся из «наблюдаемых» в результате допустимых действий над последними: построения противоположных событий, а также всевозможных не более чем счетных объединений и пересечений.

Пусть теперь Ф(x) — произвольная монотонно неубывающая ограниченная функция, определенная на всей числовой прямой и такая, что для любого «наблюдаемого» события

Для выполнения условия нормировки вероятности следует потребовать, чтобы Ф(x) дополнительно удовлетворяла условию

В силу монотонности и ограниченности Ф(x) пределы (11) существуют.

Далее, если

где определены соотношением (10).

Таким образом, вероятность определена на конечном объединении промежутков в . Можно показать, что она будет удовлетворять требованию -аддитивности. Отсюда следует, что вероятность определена на наименьшей -алгебре, содержащей промежутки.

Определение:

Наименьшая -алгебра, содержащая все интервалы из , называется борелевской -алгеброй промежутка, а множества, входящие в борелевскую -алгебру — борелевскими.

Итак, с помощью ограниченной неубывающей функции Ф(x) мы определили вероятность на борелевской -алгебре . Этот способ задания вероятности является универсальным, так как если на борелевской -алгебре промежутка задана произвольная вероятность, то она определяется по функции

вышеуказанным способом.

Пример:

Дискретные вероятностные пространства. Пусть

— конечное или счетное множество точек на прямой и

— последовательность чисел таких, что

Определим вероятность произвольного множества так

(складываются числа , с теми же номерами, с которыми члены последовательности входят в A). Ясно, что определенная таким образом вероятность задается с помощью функции

Если все точки — изолированные, то Ф(x) — ступенчатая функция с разрывами в точках , причем

(рис. 23). Если же точки последовательности не изолированы, то Ф(x) может иметь довольно сложную структуру и ее график так просто изобразить невозможно.

Пример:

Равномерное распределение на отрезке. Если функция Ф(x) линейна на отрезке [а, b], Ф(x) = 0 при х < а и Ф(x) = 1 при х > b, то такой способ определения вероятности называется равномерным распределением вероятности на [а, b], т. к. вероятность отрезка пропорциональна его длине и не зависит от его расположения внутри [а, b] (рис. 24).

Пример:

Пусть существует неотрицательная интегрируемая функция такая, что

Для любого положим

Определенное таким образом распределение вероятности называется абсолютно непрерывным распределением, а функция — плотностью этого распределения. Легко видеть, что рассмотренное в примере 2 равномерное распределение является абсолютно непрерывным с плотностью

Дискретное распределение (см. пример 1) не является абсолютно непрерывным, т. к. вероятность одноточечного множества при абсолютно непрерывном распределении равна 0 (Ф(x) — непрерывная функция), а при дискретном положительна.

Координатная плоскость в R2

Координатная плоскость в

Предположим, что множество исходов эксперимента может быть описано множеством , т. е. существует взаимно однозначное соответствие между точками множества D и исходами эксперимента . «Наблюдаемыми» событиями будем считать события, состоящие в выборе точки из прямоугольника, принадлежащего D, с включенными или нет отрезками границы. Определив вероятность для «наблюдаемых» событий, распространим ее вначале на конечные объединения и пересечения прямоугольников, а потом и на наименьшую -алгебру, содержащую прямоугольники и называемую, как и в одномерном случае, борелевской.

Аналогично одномерному случаю вероятность можно задавать с помощью функции

однако здесь (тем более при переходе к для n > 2) эта схема весьма громоздка и редко применяется на практике.

Пример:

Дискретные распределения. Пусть — конечное или счетное множество точек плоскости (или ) и — последовательность неотрицательных чисел таких, что Вероятность множества определим так

Это и есть дискретное распределение вероятностей (полная аналогия с одномерным случаем).

Пример:

Абсолютно непрерывные распределения. Пусть — неотрицательная интегрируемая функция на (или в D) и

Так же, как и в одномерном случае при абсолютно непрерывном распределении, вероятностью множества А называем число

Аналогичным образом определяются вероятности в пространствах элементарных исходов, равномощных некоторым кубируемым подмножествам в «Наблюдаемыми» будем считать события, состоящие в выборе случайной точки из прямоугольного параллелепипеда (с включенными или нет гранями — это вопрос соглашения), и действуя далее точно так же, как в .

Геометрические вероятности

Важным для приложений частным случаем изложенных выше схем являются так называемые геометрические вероятности.

Пусть — кубируемое подмножество , — его мера (при n = 1 — длина, при n = 2 — площадь, при n — 3 — объем и т.п.). События — борелевские подмножества , т. е. наименьшая -алгебра, порожденная параллелепипедами

По определению, вероятность пропорциональна мере

В частности:
если — кривая на плоскости, начинающаяся в точке и заканчивающаяся в точке , и случайное событие — выбор точки из дуги А (рис. 25), то вероятность этого события

где l(A) — длина дуги А;

если — область на плоскости (рис. 26), то

где S(A) — площадь множества А;
если — тело в пространстве (рис. 27), то

где V(A) — объем множества А.

Как правило, геометрические вероятности возникают в ситуации, когда множество всех возможных исходов эксперимента можно интерпретировать как «геометрическое», а сам эксперимент обладает физической (или геометрической) симметрией, обеспечивающей «равновозможность» всех исходов; при этом вероятность равномерно распределена по всему множеству.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Точка случайным образом брошена на окружность радиуса 1. Какова вероятность того, что длина проекции радиус-вектора этой точки на выбранное направление не превышает 0,5?

Пусть выбранное направление совпадает с направлением оси Ох, а центр окружности лежит в точке х = 0, у = 0 (рис. 28). Случайность бросания позволяет считать, что вероятность попадания точки на любую дугу пропорциональна длине этой дуги и не зависит от ее положения на окружности. Тогда для любого события в соответствии с (14) имеем

Для того, чтобы длина проекции не превышала 0,5, нужно, чтобы точка попала либо на дугу , либо на дугу . Поэтому и

Пример:

Пусть — координаты точки, выбранной случайным образом из единичного квадрата . Найти вероятность того, что корни уравнения

а) действительны; б) оба положительны

а) Корни уравнения действительны, если выполняется соотношение

Множество на рис. 29 заштриховано. Получаем

б) Легко видеть, что искомая вероятность равна нулю, так как положительность корней требует отрицательности (по теореме Виета , что невозможно. ►

Пример:

Задача Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими одна от другой на расстоянии L. Найти вероятность того, что наудачу брошенная игла длины l < L пересечет какую-нибудь из этих прямых.

Игла, брошенная наудачу на плоскость, разграфленную параллельными прямыми, однозначно фиксируется следующими координатами: положением ее середины и углом поворота относительно некоторого фиксированного направления. В силу периодичности картины достаточно рассмотреть одну полосу ширины L. Систему координат введем так: начальную точку О возьмем на середине полосы, ось абсцисс проведем параллельно прямым, ограничивающим полосу, а ось ординат — перпендикулярно. Пусть у — ордината середины иглы, брошенной на полосу. Считая, что положение иглы случайно, полагаем вероятность попадания середины в любой промежуток внутри пропорциональной длине промежутка. Игла пересекает границу полосы, если выполнены следующие условия:

и угол , составленный иглой с положительным направлением оси ординат, не меньше предельного угла для этой ординаты,

(рис. 30). Возможные положения иглы на плоскости описываются точками прямоугольника

а множество М положений иглы, при которых она пересекает прямую, описывается так

Для искомой вероятности получаем

Условные вероятности

Пусть — эксперимент, — совокупность случайных событий, Р{А} — правило вычисления вероятностей для любого случайного события . Часто возникает потребность изучения совместного осуществления нескольких случайных событий в следующей постановке: известно, что в результате однократного осуществления эксперимента реализовалось случайное событие В. Что можно сказать о степени достоверности осуществления события А? Ясно, что если события А и В несовместны, то осуществление события В означает невозможность осуществления события А в том же испытании. Если же событие А подчинено событию В (В влечет за собой А, ), то осуществление В влечет за собой осуществление А (рис. 32). Однако эти две ситуации в известном смысле крайние, и для любого другого события А достоверность его осуществления вместе с В должна быть тем выше, чем большую долю в В составляют элементарные исходы А (рис. 33).

Вышеизложенное дает основание для следующего определения.

Определение:

Условной вероятностью случайного события А относительно случайного события В, Р{В} > 0, называется число

Отметим очевидные свойства условной вероятности:

◄ Из свойства дистрибутивности сложения событий

Отсюда следует искомое. ►

Условные вероятности позволяют ввести в рассмотрение одну важную теоретико-вероятностную конструкцию, связанную с осуществившимся в эксперименте случайным событием В (ненулевой вероятности) — конструкцию сужения, или ограничения, эксперимента на событие В.

Рассмотрим эксперимент такой, что

(см. рис. 34). (Заметим, что — является сигма-алгеброй.)

Определение эксперимента корректно в том смысле, что любое событие из -алгебры случайных событий обладает вероятностью. Эксперимент называется сужением эксперимента .

Пример:

Эксперимент состоит в одновременном подбрасывании двух игральных кубиков с последующей фиксацией значений, оказавшихся на верхних гранях кубиков. Найти вероятность того, что на кубиках выпали разные числа, если известно, что сумма выпавших очков оказалась равна 8.

Опишем пространство элементарных исходов рассматриваемого эксперимента списком , элементами которого являются упорядоченные наборы пар чисел , где і — число, выпавшее на первом кубике, j — на втором. Имеем

Число всех возможных исходов В силу физической симметрии эксперимента положим

Событие

состоит из 30 равновозможных элементарных исходов, поэтому

событие

из 5 равновозможных исходов —

Совмещение событий А и В имеет следующую структуру:

Формула условной вероятности дает

Тот же результат можно получить, рассмотрев сужение эксперимента , индуцированное событием В. В этом конкретном эксперименте имеем

Проиллюстрируем приведенные выше рассуждения таблицей

Отметим еще несколько полезных соотношений, связанных с понятием условной вероятности.

Правило умножения вероятностей

Это соотношение очевидным образом следует из определения (1) и может быть легко обобщено на случай n совмещаемых событий

если только

Пример:

Список экзаменационных вопросов содержит 25 вопросов, из которых студент подготовил только 20. Экзаменатор задает ему два вопроса, выбирая их из списка случайным образом. Найти вероятность того, что студент знает ответ на оба предложенных ему вопроса.

◄ 1. Один из способов получения ответа на поставленный вопрос следующий: пространство элементарных исходов рассматриваемого эксперимента состоит из всевозможных (вообще говоря, неупорядоченных) пар номеров вопросов, которые может предложить преподаватель. Всего их . Событие А, состоящее в том, что студент знает ответ на оба предложенных вопроса, состоит из тех пар (i, j) вопросов, которые он подготовил. Их . Учитывая случайность выбора вопросов преподавателем можем считать все исходы в равновозможными, а потому

2. Другой способ — использование понятия условной вероятности: пусть событие В — «первый из предложенных студенту вопросов ему известен», событие С — «второй из предложенных студенту вопросов ему известен». Тогда событие А — «студент знает ответ на оба предложенные ему вопроса» — есть совмещение событий В и С и по правилу умножения (2)

Но Р{В} = 20/25 — вероятность извлечь из совокупности 25 равновозможных вопросов любой из 20 известных студенту, тогда вероятность Р{С|В} извлечь из оставшихся 24 вопросов любой из оставшихся 19 известных студенту дается соотношением

и теперь осталось применить формулу умножения (4). ►

Формула полной вероятности

Пусть случайные события попарно несовместны, Совокупность событий будем называть полной группой несовместных событий в эксперименте . Тогда для любого случайного события А справедливо равенство

◄ Действительно, из

следует

и при этом

По правилу сложения вероятностей отсюда получаем

Правило же умножения (3) дает

откуда и следует требуемое. ►

Заметим, что в рамках принятой теории соотношение (5) формализует естественный перебор альтернатив: если — альтернативные события, то А происходит либо вместе с , либо с либо с . Следующий ниже пример иллюстрирует эту мысль.

Пример. Известно, что 5% мужчин и 0,25% женщин — дальтоники. Найти вероятность того, что наугад выбранный человек — дальтоник (предполагается, что число мужчин и число женщин одинаковы, ).

Вероятность того, что наугад выбранный человек — дальтоник, должна быть, очевидно, пропорциональна общему количеству дальтоников , которое в свою очередь является суммой количества дальтоников-мужчин (5% от количества мужчин) и количества дальтоников-женщин (0,25% от количества женщин):

Доля дальтоников дается соотношением

Проведенные наводящие рассуждения формализуются следующим образом: пусть Д — событие, состоящее в том, что наугад выбранный человек — дальтоник, М — что он мужчина, Ж — женщина. Заметим, что события М и Ж в рассматриваемом эксперименте (случайный выбор индивидуума из содержащей одинаковое число мужчин и женщин совокупности) образуют полную группу несовместных событий. В силу можно считать что

Для вероятности события Д из (5) получаем

В качестве Р{Д|М} разумно, исходя из условия задачи, взять долю дальтоников среди мужчин — Р{Д|М} = 0,05. Аналогично и для Р{Д|Ж} = 0,0025. Поэтому

Формула Бейеса

Формула условной вероятности (1) может быть прочитана и следующим образом: пусть А и Н — два события ненулевой вероятности. Формальными выкладками получаем, что поскольку то

Последняя формула интерпретируется так: пусть a priori (до проведения испытания) мы оценили вероятности событий А и Н. Проведем эксперимент и, если событие А осуществилось, пересчитаем вероятность события Н в соответствии с (6). Получим Р{Н\ А} — апостериорную (послеопытную) вероятность Н, которая уточняет наше знание о возможностях осуществления события Н в последующих испытаниях. Эта интерпретация становится особо интересной, если применить формулу (6) к полной системе несовместных событий

Соотношение (7) позволяет при известных априорных вероятностях событий Hj ,

и сведении о том, какое событие А осуществилось в данном испытании, найти апостериорное распределение вероятностей

События в этой трактовке носят имя «гипотез», а само соотношение (7) служит основой весьма плодотворного подхода в современной статистике, носящем имя «бей-есовского» подхода. Формула (7) называется формулой Бейеса или формулой гипотез.

Пример:

Оператор на мониторе локатора может зафиксировать сигнал, являющийся следом либо объекта, либо его имитации. При этом в одном случае из пяти оператор ошибается. Известно, что в поле наблюдения оператора объекты появляются вдвое реже, чем их имитации. Оператор идентифицировал сигнал на экране монитора как сигнал от объекта. Какова вероятность того, что в поле наблюдения находится действительно объект, а не его имитация?

◄ Пусть — гипотеза, состоящая в том, что в поле наблюдения находится объект (имитация). Событие О — «сигнал на экране монитора идентифицирован как сигнал от объекта». Задача состоит в нахождении вероятности . По формуле (7) получаем

Условия задачи дают основания для следующей оценки априорных вероятностей:

(так как );

Окончательно получаем

Независимость случайных событий

Формула условной вероятности позволяет ввести в рассмотрение еще одно важное понятие — понятие зависимости и независимости случайных событий. Если трактовать независимость случайных событий в некотором эксперименте как отсутствие влияния осуществления или неосуществления одного или нескольких событий на осуществление или неосуществление другого или других событий, то разумно оценивать степень такой зависимости изменением вероятности осуществления событий второй группы при наличии информации об осуществлении событий первой группы. Приведенное соображение дает основание для следующего определения.

Определение:

Будем говорить, что событие А не зависит от события В, если

Сразу же отметим, что несмотря на внешнюю асимметрию данного определения, понятие независимости взаимно: если А не зависит от В, то и В не зависит от А.

◄ Действительно, если событие А не зависит от события В, то правило умножения вероятностей (2) принимает вид

Отсюда легко получаем

если только Р{А} > 0. Последнее соотношение и означает независимость В от А в смысле определения (8). ►

Для событий положительной вероятности соотношение (9) и определение (8) равносильны, и любое из них может быть принято в качестве определения независимости пары случайных событий.

Если события А и В независимы, то также независимы следующие пары событий:

что легко проверить, воспользовавшись определением (8) и тем обстоятельством, что независимы пары событий

Пример:

В эксперименте с бросанием монеты события Г (выпадение герба) и Р (выпадение решки), очевидно, зависимы, так как осуществление одного из них влечет за собой невозможность осуществления другого. Формально

Пример:

По ведомостям о расходе запасных частей было установлено, что при ремонте автомобильных двигателей деталь А была заменена в среднем в 36% случаев, деталь В — в 42% случаев, а обе эти детали одновременно заменялись в среднем в 30% случаев. Связаны ли между собой выход из строя детали детали В?

Пусть А — событие, состоящее в том, что деталь А вышла из строя и подлежит замене; В — вышла из строя и подлежит замене деталь В. Условие задачи дает основание для следующей оценки вероятностей событий

По формуле условной вероятности получаем

Это означает, что замена детали А при условии, что заменяется деталь В, происходит почти вдвое чаще, чем безусловная замена этой детали, что, конечно, свидетельствует о наличии связи между выходом из строя деталей А и В.

Определение:

Будем говорить, что события независимы в совокупности, если для любого любых , и любых

выполняются соотношения

Например, независимость в совокупности событий по определению (10) означает, что они независимы попарно, т. е.

но кроме того, должны иметь место еще и соотношения

или им эквивалентные, например

Приводимый ниже пример иллюстрирует недостаточность попарной независимости для обеспечения независимости событий в совокупности.

Пример:

В урне лежат четыре геометрически идентичных шара, три из которых окрашены соответственно в красный, синий и зеленый цвета, а окраска четвертого шара содержит все эти три цвета. Эксперимент состоит в извлечении шара из урны.

Обозначим события следующим образом:
К — «извлеченный шар содержит красный цвет»,
С — «извлеченный шар содержит синий цвет»,
3 — «извлеченный шар содержит зеленый цвет».

Пространство элементарных исходов опишем списком равновозможных исходов

означающих соответственно, что извлечен красный, синий, зеленый или трехцветный шар. При этом

Получаем

Заметим, что

поэтому

откуда следует попарная независимость событий К, С и 3. В то же время и Отсюда, например,

в то время как

Из определения (10) следует, что

события независимы в совокупности тогда и только тогда, когда для любого r, , и любых, выполняется равенство

Замечание:

Отметим, что наличие «длинной» цепочки соотношений (11) не гарантирует справедливость «более коротких» цепочек.

Пример:

В урне лежит 8 физически идентичных шаров — 2 красных, 2 зеленых и по одному синему, красно-синему, сине-зеленому и трехцветному. Эксперимент состоит в извлечении шара из урны.

Пространство элементарных исходов опишем следующим списком:

Пусть события К, С и 3 такие же, как и в предыдущем примере. Тогда

В то же время

Совмещение экспериментов

Часто возникает потребность в совместном рассмотрении событий из разных экспериментов. Формальная теория, изложенная выше, вообще говоря, не позволяет этого сделать, так как все определения и утверждения предыдущих разделов относятся к единому для рассматриваемых в них событий пространству элементарных исходов. Ниже будет предложен способ построения общего пространства элементарных исходов для конечной совокупности различных экспериментов.

Пусть — Два вероятностных пространства, описывающих два различных эксперимента.

Отметим, что совместное рассмотрение любых событий из этих экспериментов должно давать, во-первых, возможность рассмотрения в рамках общей модели любых событий каждого из экспериментов в отдельности, а во-вторых, в предположении отсутствия какого бы то ни было взаимодействия между экспериментами, события из разных экспериментов в рамках общей модели должны быть независимыми. Этим требованиям удовлетворяет конструкция совмещения экспериментов.

Рассмотрим эксперимент, состоящий в совместном осуществлении экспериментов, описываемых вероятностными пространствами , при условии отсутствия взаимодействия между ними. Совокупность элементарных исходов этого эксперимента опишем множеством всех возможных упорядоченных пар

или

Случайными событиями в этом эксперименте назовем любые подмножества множества (1) вида

т. е. любые упорядоченные пары случайных событий из рассматриваемых экспериментов, дополнив их всевозможными не более чем счетными объединениями, пересечениями и отрицаниями и т.д. (т. е. построим -алгебру случайных событий — наименьшую -алгебру, включающую в себя события вида (2)).

Вероятность на множестве случайных событий определим соотношением

Определение:

Вероятностное пространство , задаваемое соотношениями (1), (2), (3), будем называть совмещением экспериментов

Такой способ определения вероятностного пространства корректен в том смысле, что любому событию (не только вида (2)) приписана вероятность, удовлетворяющая всем предъявляемым к ней требованиям.

Любое событие из первого эксперимента может быть отождествлено с событием из совмещения экспериментов и при этом

аналогично отождествляется с и

Отметим, что определение (3), мотивированное отсутствием взаимодействия между экспериментами, постулирует независимость в рамках совмещения экспериментов любых событий из различных экспериментов. Действительно

Эта схема очевидным образом распространяется на случай любого конечного числа совмещаемых экспериментов.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих рассмотренную конструкцию.

Пример:

Пусть — вероятностное пространство, описывающее эксперимент, связанный с бросанием симметричного игрального кубика:

Вероятностное пространство описывает аналогичный предыдущему и независимый от него эксперимент. Тогда — эксперимент, описывающий двукратное бросание игрального кубика (или, что то же, одновременное бросание двух физически идентичных симметричных игральных кубиков) — описывается так (рис. 35):

Например, событие «на первом кубике выпала двойка» описывается всеми точками вида

событие «на обоих кубиках выпали одинаковые числа» — точками вида

и т.д.

Пример:

Биномиальный эксперимент. В эксперименте, описанном вероятностным пространством {, F, Р}, рассмотрим некоторое событие У, которое в дальнейшем будем называть «успех», и для которого Р{У} = р > 0. Событие будет расцениваться как «неуспех»:

Свяжем с описанным выше экспериментом дискретный эксперимент с двумя элементарными исходами

который будем называть экспериментом Бернулли с параметром р.

Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых событие У происходит с неизменной вероятностью р, является n-кратным совмещением эксперимента .

Элементарными исходами, составляющими пространство элементарных событий

будут всевозможные упорядоченные наборы длины n, составленные из символов . Легко подсчитать, что общее число таких наборов (элементарных исходов) . Каждому элементарному исходу в соответствии с правилом (3) припишем вероятность , если только этот исход содержит ровно k символов У (описывает такой результат эксперимента, когда в серии из п независимых испытаний наблюдалось k успехов и, соответственно, n — k неудач.) Введем в рассмотрение следующие события:

Сразу заметим, что поскольку , если только , то

и

Аналогично

Для событий имеем

где каждый элементарный исход содержит ровно k символов У. Поскольку всего таких исходов , то

Эксперимент, являющийся n-кратным совмещением бернуллиевского эксперимента с параметром р, будем называть биномиальным экспериментом с параметрами (n, р).

Схема биномиального эксперимента находит широкое применение в различных прикладных задачах. Рассмотрим два конкретных примера.

Пример:

Телевизионный завод выпускает в среднем 2% некачественных кинескопов. Сборочный цех получил 10 кинескопов. Какова вероятность того, что среди полученных не более 2 некачественных?

Событие Y — «соответствующий кинескоп качественный», — «соответствующий кинескоп некачественный». Количество испытаний n = 10. В качестве вероятности успеха условие задачи дает основание принять величину 0,98. Следует найти . Имеем

Пример:

Урновая схема с возвращением. В урне лежит N =m +l геометрически идентичных шаров, соответственно m черного и l белого цвета. Эксперимент состоит в n-кратном извлечении шара из урны с последующим возвращением извлеченного шара (после фиксации его цвета). Какова вероятность того, что среди извлеченных шаров число шаров белого цвета окажется не менее r?

Пусть Y — событие, состоящее в том, что извлеченный шар белый, — черный. Тогда количество испытаний — n. Следует найти

Существенным обстоятельством, позволившим применить конструкцию совмещения экспериментов (в рассмотренном примере — совмещения однократных извлечений шара из урны) является неизменность вероятности извлечения белого шара — следствие процедуры выбора с возвращением.

Пример:

Полиномиальный эксперимент. Пусть — полная система несовместных событий, Свяжем с рассматриваемым экспериментом дискретный эксперимент

и рассмотрим последовательность п независимых испытаний, в каждом из которых может происходить любое из событий с вероятностью — n-кратное совмещение эксперимента . Его элементарные исходы — упорядоченные наборы длины n, составленные из символов — на любом месте набора может стоять любой из символов . Заметим, что В соответствии с правилом (2) каждому исходу, составленному из символов символов символов припишем вероятность

Введем в рассмотрение событие

где . Все исходы, составляющие событие , имеют одну и ту же вероятность , и всего их (см. Приложение). Тем самым,

Этот эксперимент будем называть полиномиальным экспериментом с параметрами

Рассмотрим конкретный пример.

Пример:

Двое друзей договорились встретиться в определенном месте в 10 часов утра. Известно, что каждый из них приходит к месту встречи случайным образом в любой момент времени от 9.45 до 10.15 независимо от момента прихода к месту встречи другого. Найти вероятность того, что одному из них придется ожидать другого не более 10 минут.

Пусть — пространство элементарных исходов, описывающее моменты прихода к месту встречи одного из друзей, — второго:

В каждом из указанных экспериментов естественными наблюдаемыми событиями будут события, состоящие в приходе к месту встречи в некотором временном промежутке Единицей измерения времени выбран час.

Вероятность события

в силу случайности момента прихода к месту встречи первого из друзей резонно считать пропорциональной длине промежутка

Коэффициент пропорциональности к определим из условия нормировки

Для поступаем аналогично. Заметим, что случайными событиями в рассматриваемых экспериментах будут элементы борелевской -алгебры на промежутке .

Совмещением экспериментов будет эксперимент, пространство элементарных исходов которого можно описать точками квадрата на плоскости

В соответствии с рассмотренной выше конструкцией вероятности любого случайного события из совмещения

будут определяться соотношением

(вероятность попадания в прямоугольник пропорциональна его площади). Отсюда, для любого события, описываемого квадрируемым подмножеством множества точек квадрата , вероятность пропорциональна площади

Интересующее нас событие — «время ожидания одним из друзей другого не превышает 10 минут» — описывается множеством тех точек , для которых (напомним, что время измеряется в часах: 10 минут = 1/6 часа)

Поэтому, в соответствии с (8) имеем

Собственно вычисление площадей проиллюстрировано на рис. 36.

Счетные совмещения

В предыдущем параграфе построена конструкция, позволяющая совместно рассматривать события из конечного числа разных экспериментов. Однако во многих случаях возникает потребность рассматривать события из бесконечного множества различных экспериментов. Например, в теории случайных процессов изучается связь между случайными событиями, происходящими в разные моменты времени, и предполагается, что для любого момента времени задан свой эксперимент. В этой задаче множество экспериментов континуально.

Здесь мы рассмотрим случай счетного множества экспериментов. Пусть — счетное множество вероятностных пространств. По аналогии с конечным совмещением экспериментов совокупность элементарных исходов счетного совмещения естественно описать как множество всех последовательностей , где

или

Однако если мы захотим продолжить аналогию дальше и называть случайными событиями множества вида

, а вероятность определять по аналогии как произведение, то почти всегда

(здесь рассматривается бесконечное произведение). Поэтому (а также потому, что рассмотренная ниже конструкция применяется во многих задачах) рассмотрим следующие построения.

Определение:

Множество назовем цилиндрическим, если существует конечное число номеров и событий таких, что

т. е. А состоит из таких последовательностей

что только на местах элементы содержатся в соответствующем , а остальные произвольны.

Как легко видеть, вероятностные конечные объединения цилиндрических множеств образуют алгебру событий. Определим вероятность на алгебраическом множестве соотношением

а на конечных объединениях непересекающихся цилиндрических множеств — как соответствующую сумму. Можно доказать (хотя это довольно сложно), что определенная в (2) вероятность обладает свойством -аддитивности, и, следовательно, ее можно продолжить на наименьшую -алгебру, содержащую цилиндрические множества. Вероятностное пространство, задаваемое соотношениями (1) и (2), где F — наименьшая -алгебра, содержащая цилиндрические множества, будем называть совмещением экспериментов

Случайному событию из i-го эксперимента так же, как и раньше, сопоставляется случайное событие ,

Из (2) следует, что вероятности , равны:. В счетном совмещении экспериментов события из разных экспериментов независимы в совокупности, что сразу следует из (2). Итак, мы видим, что наша конструкция, как и в конечном случае, обладает всеми нужными свойствами: в новом экспериментевероятности всех событий не изменились и события из разных экспериментов остались независимыми.

Пример:

В примере 2 предыдущего параграфа рассмотрен эксперимент Бернулли с параметром р — (здесь мы обозначили событие Y через 1, а событие через 0). На основе был определен биномиальный эксперимент с параметрами (n, р) как n-кратное совмещение бернуллиевского эксперимента. Рассмотрим теперь счетное совмещение бернуллиевского эксперимента с параметром р.

В соответствии с (1) элементами

являются всевозможные последовательности из нулей и единиц. Поставив в соответствие такой последовательности действительное число, для которого онв является разложением в двоичную дробь, получим . Итак, мы видим, что континуально, даже несмотря на то, что в всего два элемента. Далее, в обязательно существует событие, не имеющее вероятности, так как в отличие от биномиального эксперимента дискретным экспериментом не является. Аналогия и [0, 1] идет и дальше: оказывается, что при указанном отождествлении и [0, 1] -алгебра F, содержащая цилиндрические множества в , соответствует -алгебре борелевских множеств [0, 1]. Так происходит потому, что цилиндрические множества соответствуют отрезкам с концами в двоично-рациональных точках, т. е. -алгебры, содержащие цилиндрические множества в и двоично-рациональные отрезки в [0, 1], совпадают. Очевидно, что -алгебра на [0, 1], содержащая все двоично-рациональные отрезки, совпадает с -алгеброй борелевских множеств [0, 1]. Итак, совпадают не только множества и [0, 1], но и -алгебры случайных множеств.

Обратимся к вероятности в и в [0,1] при р = 1/2 (в остальных случаях этот вопрос более сложен). Оказывается, что в этом случае вероятность соответствует длине; точнее, если событию соответствует промежуток Итак, при р — 1/2 счетное совмещение полностью совпадает с отрезком [0, 1] — и как множество, и в смысле совпадения случайных событий, а вероятность в совпадает с длиной в [0, 1].

Пример:

Бросание монеты до первого появления герба. Пусть вероятность выпадения герба при одном бросании равна р. Эксперимент состоит в том, что мы подбрасываем монету до тех пор, пока не появится герб. Интуитивно ясно, как построить пространство элементарных событий и как задать на нем вероятность: если обозначить через 1 выпадение герба, а через 0 — решки, то все исходы эксперимента перечисляются так —

( — герб не выпал никогда). Случайными событиями являются все подмножества, и

что соответствует независимости бросаний. Однако с помощью нашей конструкции счетного совмещения событий мы можем изучить данную задачу более строго. Рассмотрим счетное совмещение бер-нуллиевских экспериментов с параметром р. Событие , состоящее в том, что n раз выпала решка, а в (n+ 1)-й раз — герб, соответствует цилиндрическому множеству

Следовательно, . Теперь мы также можем доказать, что . В самом деле,

Отсюда видно, что является счетным пересечением убывающих цилиндрических множеств. Значит, по свойству непрерывности вероятности, p{w} = 0. Итак, за пространство элементарных исходов при бросании монеты до первого появления герба возьмем совокупность цилиндрических множеств , из -алгебры F в вместе с предписанными им в вероятностями. Мы получаем дискретное распределение вероятностей, так как

Вероятность произвольного события в нашем эксперименте находится, как обычно в дискретном распределении суммированием вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. Нвйдем для примера вероятность того, что для первого появления герба надо сделать не более трех подбрасываний. Если через А обозначить интересующее нас событие, то

Что такое случайное событие и как его решить

Опыт, эксперимент, наблюдение явления называют испытанием. Испытаниями, например, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенным на каждую грань числом очков — от одного до шести).

Результат, исход испытания называется событием. Событиями являются: выпадение герба или цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.

Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Определение:

Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример:

Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А — появление четырех очков, событие В — появление четного числа очков. События А и В совместимые.

Определение:

Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример:

Испытание: однократное бросание монеты. Событие А — выпадение герба, событие В— выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.

Несовместимость более чем двух событий в данном испытании означает их попарную несовместимость.

Пример:

Испытание: однократное бросание игральной кости. Пусть события — соответственно выпадение одного очка, двух, трех и т.д. Эти события являются несовместимыми.

Определение:

Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию А, обозначают через

Пример:

Испытание: однократное бросание монеты. Событие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они и появление одного из них исключает появление другого, т. е. или

Определение:

Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Пример:

Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А — вынут белый шар — достоверное событие; событие В — вынут черный шар — невозможное событие.

Заметим, что достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.

Определение:

Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Пример:

Событие — выпадение шести очков при бросании игральной кости — случайное. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.

Пример:

Событие — прорастание девяноста восьми зерен пшеницы из ста — случайное. Это событие может наступить, но, может быть, прорастет зерен больше или меньше.

Алгебра событий

Определение:

Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.

Пример:

Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А — попадание в мишень первым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.

Аналогично суммой конечного числа событий называется событие состоящее в наступлении хотя бы одного из событий

Из определения 1 непосредственно следует, что А + В = В + А. Справедливо также и сочетательное свойство. Однако А + А = А (а не 2A, как в алгебре).

Определение:

Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий называется событие состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С=АВ, состоящее в попадании в мишень двумя стрелками.

Из определения 2 непосредственно следует, что АВ=ВА.
Справедливы также сочетательный и дистрибутивный законы. Однако АА = А (а не ).

Классическое определение вероятности

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов — результатов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

Определение:

Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Примеры полных групп событий — выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и промах при одном выстреле; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков при одном бросании игральной кости.

Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом испытании осуществление каждого из событий равновозможно, т. е. условия испытания не создают преимуществ в появлении какого-либо события перед другими возможными.

Определение:

События образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, называют элементарными событиями.

Пример:

Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть U, — событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой і. Как уже отмечалось (п. 1, 3), события образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, то события , являются и равновозможными, т. е. элементарными.

Определение:

Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Пример:

Пусть при бросании игральной кости события — появление соответственно двух, четырех и шести очков, а А — событие, состоящее в появлении четного числа очков; события благоприятствуют событию А.

Определение:

Классическое определение вероятности. Вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е.

Пример:

Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие A —выпадение герба — и событие В — выпадение цифры — образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь n = 2. Событию А благоприятствует лишь одно событие — само А, т.е. здесь m=1. Поэтому

Пример:

Очевидно, что при одном бросании игральной кости (вероятность выпадения какой-либо цифры от 1 до 6 будет равна

Пример:

Найдем вероятность того, что при однократном бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А).

Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событии 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому

Пример:

При составлении команды космического корабля возникает вопрос о психологической совместимости отдельных членов экипажа. Допустим, что надо составить команду из трех человек: командира, инженера и врача. На место командира есть три кандидата: на место инженера — четыре кандидата: на место врача —два кандидата: Проведенная проверка показала психологическую несовместимость командира с инженерами и с врачом а также инженера с врачом Будем для простоты считать, что без учета фактора несовместимости все варианты составления команды равновозможны. Какова в этом случае вероятность того, что будет составлен экипаж, все члены которого психологически совместимы друг с другом?

Представим все варианты команды, при которых члены экипажа совместимы друг с другом в виде «дерева» (рис. 1). Число ветвей этого дерева, т. е. исходов, благоприятствующих событию А, равно 16, а общее число возможных комбинаций по правилу произведения равно Искомая вероятность

Задача:

Вероятности рождения мальчиков и девочек. Будем предполагать, что случаи рождения мальчика и девочки — равновозможные события.

Пусть в семье двое детей. Какова вероятность, что оба ребенка — мальчики? Если известно, что один мальчик, какова вероятность, что оба ребенка — мальчики?

На первый вопрос ответить нетрудно. Имеется четыре равновозможных исхода: ММ, МД, ДМ, ДД (М — мальчик, Д — девочка). Исходы МД и ДМ различны, так как в первом из них сначала родился мальчик, а потом девочка, во втором — наоборот. Из этих четырех исходов только один ММ благоприятствует нашему событию. Отсюда следует, что Р(MM) =

Если дополнительно известно, что один ребенок — мальчик, то событие ДД исключается. Из трех равновозможных событий ММ, МД, ДМ по-прежнему только одно ММ благоприятствует желаемому исходу. Поэтому Р(ММ) =

Если известно, что старший ребенок — мальчик, то исключаются исходы ДМ и ДД. В этом случае Р(ММ) =

Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все п элементарных событий, т. е. m = n и, следовательно,

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т. е. m = 0, откуда

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0<m<n и, значит, 0<m/n<1. Следовательно, 0< Р(А)< 1.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Замечание:

Из определения вероятности следует, что элементарные события являются равновероятными, т. е. обладают одной и той же вероятностью.

Применение элементов комбинаторики к нахождению вероятностен

Комбинаторика — раздел математики, занимающийся вопросами о том, сколько комбинаций определенного типа можно получить из данных предметов (элементов).

Как при решении задач с использованием классического определения вероятности, так и в дальнейшем могут нам понадобиться некоторые определения и формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Определение:

Размещениями из n различных элементов по m элементов (m < n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Например, из трех элементов а, b, с можно составить по два элемента следующие размещения:

ab, ас, bc, ba, са, cb.

Число размещений из n элементов по m равно

Пусть — всевозможные размещения, содержащие m элементов. Будем эти размещения строить последовательно. Сначала определим — первый элемент размещения. Очевидно, из данной совокупности n элементов его можно выбрать n различными способами. После выбора первого элемента для второго элемента остается n — 1 способов выбора и т. д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому общее число размещений равно указанному произведению (1.1).

Пример:

Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Искомое число сигналов

Определение:

Перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n.

Перестановки можно рассматривать как частный случай размещений при m = n, поэтому общее число перестановок из n элементов равно

Пример:

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Искомое количество трехзначных чисел

Определение:

Сочетаниями из n различных элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в первых не учитывается порядок элементов.

Обозначим через число сочетаний из n элементов по m.

Рассмотрим все допустимые сочетания элементов . Делая в каждом из них ml возможных перестановок их элементов, очевидно, получим общее число рамешений из n элементов по m. Таким образом, отсюда

Формулу (3) можно представить также в виде

обладает очевидной особенностью

которая также верна и при m = 0, если принять

Этой особенностью удобно пользоваться, когда

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона

и поэтому часто называются биномиальными коэффициентами.

Пример:

Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Искомое число способов

При решении задач комбинаторики можно использовать следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый элемент А может быть выбран из совокупности элементов m способами, а другой элемент В — n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если элемент А можно выбрать из совокупности элементов m способами и после каждого такого выбора элемент В можно выбрать n способами, то пара элементов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Эти правила справедливы и для любого конечного числа элементов.

Приведем, наконец, примеры применения формул комбинаторики к нахождению вероятностей событий.

Пример:

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Две последние цифры можно набрать способами, а благоприятствовать событию М (цифры набраны правильно) будет только один способ. Поэтому

Пример:

Партия из 10 деталей содержит одну нестандартную. Какова вероятность, что при случайной выборке 5 деталей из этой партии все они будут стандартными (событие А)?

Здесь число всех случайных выборок , а число выборок, благоприятствующих событию А, есть . Таким образом, искомая вероятность

Пример:

Задача о Генуэзской лотерее*. Разыгрывается 90 номеров, из которых выигрывают пять. По условию можно ставить ту или иную сумму на любой из 90 номеров или на любую совокупность двух, трех, четырех или пяти номеров. Если участник лотери ставил на один номер, то он получал при выиграше в 15 раз больше ставки; если на два номера (амбо), то в 270 раз больше; если на три номера (терн), то в 5500 раз больше, если на четыре номера (катерн) — в 75 000 раз больше; если на пять номеров (квин) — в 1 000 000 раз больше, чем ставка. Какова вероятность выигрыша в каждом из указанных пяти случаев?

В первом случае вероятность выигрыша оказывалась

во втором, третьем, четвертом и пятом случаях вероятности выигрыша были соответственно равны:

Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число всех элементарных событий конечно. Но на практике часто встречаются опыты, для которых множество таких событий бесконечно. Например, пусть на отрезке [0; 1] числовой прямой ставят наудачу точку. Что подсказывает нам интуиция о вероятностях событий «точка попала на правую половину отрезка» и «точка попала на левую половину отрезка»? Поскольку точка ставится наудачу, то естественно считать эти события равновероятными — вероятность каждого 0,5 (поскольку это противоположные события). Ну, а если мы разделим отрезок на 10 равных отрезков и рассмотрим события «точка попала на левый отрезок», «точка попала на второй слева отрезок», …, «точка попала на правый отрезок»? Это опять равновероятные события. А вероятность каждого из них оказывается равной 0,1, поскольку это совокупность всех элементарных событий нашего опыта. Поставим теперь вопрос: «Какова вероятность попадания точки на отрезок [0,3; 0,7]?» Поскольку этому событию благоприятствуют четыре из указанных выше элементарных события, то искомая вероятность равна 0,4, т. е. длине отмеченного отрезка. В общем случае смысл выражения «точка поставлена наудачу на отрезок длины 1» состоит в том, что вероятность попадания точки на часть этого отрезка длины l равна этому числу l (если вместо отрезка [0; 1] взять отрезок [0; s], s>l, то искомая вероятность будет равна l/s).

Аналогично уясняется смысл выражения «точка поставлена наудачу в квадрат со стороной 1 (или в прямоугольник площадью 1)»,— это значит, что вероятность попадания точки на любую часть этого квадрата (или прямоугольника) равна площади этой части.

В более сложных случаях (на плоскости) может оказаться, что при геометрической интерпретации получится такая картина: имеется фигура площадью s, и на нее наудачу ставится точка. Тогда вероятность попадания точки на часть этой фигуры, имеющую площадь q, оказывается равной q/s.

Аналогично в трехмерном случае (в пространстве) здесь берется отношение соответствующих объемов. Такое определение вероятности получило название геометрического.

Пример:

В окружность вписан квадрат. В круг наудачу ставят точку. Какова вероятность того, что эта точка попадет в квадрат?

Отношение площадей квадрата и круга дает искомую вероятность:

Относительная частота. Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности оказывается непригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.

В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.

Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз.

Определение:

Число т называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение

называется относительной частотой события А.

Пример:

При транспортировке из 10 000 арбузов испортилось 26. Здесь m = 26 — абсолютная частота испорченных арбузов, а

относительная.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений, многие из которых описаны, например, в работах [1—4], помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n — числа испытаний в сериях — относительная частота

приближается к некоторому числу Р(A), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.

Пример:

Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484 (см. [4]). Эти частоты группируются около числа 0,5.

Определение:

Статистическое определение вероятности. Вероятностью события А в данном испытании называется число Р(A), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

В условиях только что приведенного примера указанная вероятность равна 0,5.

Пример:

По данным шведской статистики, относительные частоты рождения девочек по месяцам одного года характеризуются следующими числами (расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473 (см. [2]). Эти частоты группируются около числа 0,482.

Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Имеется огромный опытный материал по проверке последнего утверждения. Приведем еще один такой пример с бросанием монеты (см. [2]).

Здесь относительные частоты незначительно отличаются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. При 4040 испытаниях отклонение равно 0,008, а при 24 000 — 0,0005.

Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью в статистическом смысле, если число испытаний достаточно велико.

С этой точки зрения величина m = nр представляет собой среднее значение числа появления события А при n испытаниях.

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смысле совпадают между собой.

Аксиоматическое определение вероятности

В современных математических курсах вероятность определяется аксиоматически. При аксиоматическом построении теории вероятностей исходят из свойств вероятности событий, к которым применимо классическое или статистическое определение. Отдельные свойства вероятности известны из предыдущую изложения. Поэтому естественно принять следующие аксиомы.

Аксиома 1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3. Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Последняя аксиома называется аксиомой сложения вероятностей.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Большая заслуга в аксиоматическом построении теории вероятностей принадлежит советскому математику А. Н. Колмогорову (1903—1987), работы которого положили начало созданию современной теории вероятностей как строгой математической науки [5].

Свойства вероятности

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий

Теорема:

Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство:

Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию А благоприятствуют k элементарных событий, событию В — l элементарных событий. Так как А и В— несовместимые события, то ни одно из элементарных событий не может одновременно благоприятствовать и событию А, и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать k + 1 элементарных событий. По определению вероятности

откуда и следует утверждение теоремы.

Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Следствие:

Если события образуют полную группу попарно несовместимых событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Доказательство:

Так как события образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них — достоверное событие, и, значит,

А так как эти события и несовместимые, то

что и приводит к искомому равенству.

Следствие:

Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:

Это следствие — частный случай следствия 1.

Пример:

В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

Вероятность вынуть красный шар Р( А) = 3/10, синий Р(В) = 5/10. Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме

Теорема умножения вероятностей

Определение:

Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет*. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Пример:

Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Очевидно, После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар —также имеет вероятность , т. е. события А и В — независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда, если произошло событие А, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается и оказывается равно одной трети, если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается и становится равно двум третям.

Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В — зависимые.

Определение:

Пусть А и В — зависимые события. Условной вероятностью события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило.

Так, в только что рассмотренном примере

Условие независимости события В от события А можно записать в виде

а условие зависимости — в виде

Теорема:

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

Доказательство:

Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А и пусть из этих k событий l благоприятствуют событию В, а, значит, и событию АВ. Тогда

что и доказывает искомое равенство (1.6).
Замечание:

Применив формулу (1.6) к событию ВА, получим

Так как АВ=ВА (§ 1.1, п. 2), то

а сравнивая (1.6) и (1.6′), получаем равенство

Пример:

Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар. Рассмотрим тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары? По формуле (1.6) имеем:

Пример:

В терапевтическом отделении больницы 70% пациентов — женщины, а 21% — курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность того, что он курит?

Пусть М означает, что пациент — мужчина, а К —что пациент курит. Тогда в силу условия задачи Р(M) = 0,3, а Р(MK) = 0,21. Поэтому с учетом формулы (1.6) искомая условная вероятность

Пример:

В группе туристов 20% детей, причем 12% девочки. Наугад выбирают ребенка. Какова вероятность того, что это девочка? Какова вероятность того, что это мальчик?

Пусть А означает, что турист — ребенок, Ж — турист женского пола, М— мужского. Тогда по условию

Следовательно,

Задача:

Курение и случай заболевания легких. В группе обследуемых 1000 человек. Из них 600 курящих и 400 некурящих. Среди курящих 240 человек имеют те или иные заболевания легких. Среди некурящих легочных больных 120 человек. Являются ли курение и заболевание легких независимыми событиями?

Решение:

Пусть событие А — обследуемый курит, событие В — обследуемый страдает заболеванием легких.

Тогда, согласно условию задачи,

Так как события А и В зависимы.

Пример:

Предположим, что вероятности встретить реку, загрязняемую постоянным фактором А— Р( А), временным фактором В—Р(В) и обоими факторами — Р( АВ), равны соответственно 0,4; 0,1 и 0,05.

Найдем:
1) вероятность того, что река, загрязняемая временным фактором, будет к тому же загрязнена и постоянным фактором, т. е.
2) вероятность того, что река, загрязняемая постоянным фактором, будет еще загрязнена и временным фактором, т. е.

Имеем, согласно (1.7):

откуда

Аналогично, используя формулу (1.6), находим

Теорема:

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий

Действительно, если А и В — независимые события, то и формула (1.6) превращается в формулу (1.9).

В случае независимых событий в совокупности эта теорема распространяется на любое конечное число их, т. е. имеет место равенство

Замечание:

Если события независимы в совокупности, то и противоположные им события также независимы в совокупности.

Пример:

Найдем вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.

События А и В независимы, поэтому искомая вероятность

Пример:

Вероятность выживания одной клетки в течение 20 минут Р=0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих клеток условиями находятся только что разделившиеся две клетки. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут жизнеспособны?

Пусть событие А — первая клетка жизнеспособна через 20 мин, событие В— вторая клетка жизнеспособна через 20 мин. Будем

считать, что между клетками нет внутривидовой конкуренции, т е. события А и В независимы. Событие, что обе клетки жизнеспособны, есть событие АВ.

Пример:

Пусть у нас перемешаны записи нейронной активности 10 клеток из одной области мозга (у 5 клеток зарегистрирована активность, характерная для клеток «внимания», у 5-другой вид активности) и 20 из другой области (у 15 — активность типа клеток «внимания», у 5 —другого вида). Выясним, зависимы ли события А — «выбранная наугад запись сделана в первой области» и В— на «выбранной наугад записи зарегистрирована активность, характерная для клеток «внимания»». Имеем

Следовательно, события А и В зависимы.

Теорема:

Если события независимы в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из этих событий (т. е. вероятность суммы) вычисляется по формуле

Доказательство:

Событие состоит в том, что не произошло ни одно из событий . Оно противоположно событию, состоящему в том, что произошло хотя бы одно из событий т. е. сумме событий Поэтому, согласно формуле (1.5),

откуда

Но с учетом замечания 1 (п. 2) и формулы (1.10)

что и приводит к искомому равенству (1.11).

Теорема сложения вероятностей совместимых событий

Теорема:

Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l — событию В и m — одновременно событиям А и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют k + l — m элементарных событий. Тогда

Замечание:

При использовании формулы (1.12) следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий

для зависимых событий

Замечание:

Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0, т. е. формула (1.4) является частным случаем формулы (1.12).

Пример:

Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Р(А) = 0,7 и Р(B) = 0,8. Найдем вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Очевидно, события А и В совместимы и независимы. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ) = 0,7 + 0,8 — 0,7 0,8 = 1,5 — 0,56 = 0,94.

Формула полной вероятности

Теорема:

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

(формула полной вероятности).

События будем называть гипотезами.

Доказательство:

Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий причем ввиду несовместимости событий события также несовместимы. Поэтому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем

Пример:

Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором — три белые и одна серая, в третьем — две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Обозначим — выбор первого ящика, — выбор второго ящика, ,—выбор третьего ящика, А — извлечение белой мыши.

Так как все ящики одинаковы, то Если выбран первый ящик, то Аналогично Наконец, по формуле (1.14) получаем

Пример:

В санатории 30% пациентов — мужчины (M) и 70% — женщины (Ж). Болезни сердца среди мужчин встречаются в два раза чаще, чем среди женщин. Какова вероятность того, что наугад выбранный пациент сердечник?

Обозначив С — начилие заболевания сердца, запишем:

Подставляя эти числа в формулу полной вероятности (1.14), получим

Задача (смог над городом). На город примерно 100 дней в году дует ветер с севера и 200 дней в году — с запада. Промышленные предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе — в последний день каждой недели. Как часто город подвергается воздействию вредных выбросов? Иными словами, какова вероятность того, что в наугад выбранный день город будет накрыт промышленным смогом?

Обозначив С — ветер с севера, 3 — ветер с запада и В — воздействие вредных выбросов на город, можем записать:

Отсюда по формуле полной вероятности

Таким образом, около двух месяцев в году город накрыт смогом.

Формулы Байеса

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, осуществлено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) вероятности гипотез, т.е. величины

Найдем условную вероятность . По формуле (1.8) (см. п. 2) имеем

Отсюда

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим:

Выражения (1.15) называют формулами Байеса*.

Пример:

Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый рабочий изготовил 25% всех деталей, второй — 35%, третий — 40%. В продукции первого рабочего брак составляет 5%, в продукции второго — 4% и в продукции третьего — 2%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим?

Введем обозначения для событий: А — выбранная для контроля деталь оказалась бракованной; — эта деталь изготовлена соответственно первым, вторым и третьим рабочим. Имеем:

По формуле Байеса находим

Как здесь, так и в ряде других примеров для облегчения вычислений можно использовать калькулятор.

Случайные события в физике, химии, биологии

Цепь приборов

Рассмотрим участок электрической цепи, содержащий два последовательно соединенных прибора: А и В (рис. 2, а).

Предположим, что приборы работают независимо один от другого, и каждый из них может либо пропустить ток (прибор исправен), либо не пропустить (прибор неисправен). Обозначим Р(А) и Р(В) вероятности исправности приборов А и В соответственно. Для

того чтобы по участку цепи прошел ток, нужно, чтобы и прибор А, и прибор В были исправны, т. е. нужно совмещение исправности приборов. Так как приборы работают независимо, то по формуле умножения вероятностей вероятность прохождения тока выразится произведением

Совершенно аналогично для трех последовательно соединенных и независимо работающих приборов А, В, С (рис. 2, б) вероятность прохождения тока по участку цепи выразится произведением

а для т приборов — произведением

В частности, если приборы однотипны, точнее говоря, если вероятности их исправности равны , то вероятность прохождения тока

Можно поставить в некотором смысле обратную задачу. Предположим, что вероятность исправности первого прибора Р(А) известна. После испытаний установили вероятность прохождения тока по всему участку Р. Тогда из формулы (1.16) можно найти вероятность исправности второго прибора Р(В\ Например, если Р(А) = 0,9; Р=0,72, то в силу (1.16) Р(В) = Р/Р(А) = 0,72/0,9 = 0,8.

Цепь реакций

Цепной называют химическую реакцию, которая представляет собой цепочку одинаковых звеньев. Звеном может быть одна, две, реже — несколько стадий. Например, звено

начавшись с появления свободного радикала углеводорода R, во второй стадии снова выделяет этот радикал и тем самым создает возможность повторения такого же звена.

На некотором этапе цепная реакция может оборваться. Причиной обрыва может служить захват свободного радикала стенкой сосуда, действие ингибитора и т. п. Таким образом, на каждом этапе существует некоторая вероятность р продолжения цепи и вероятность q=l-p обрыва цепи.

Какова вероятность, что цепная реакция содержит n звеньев? Для осуществления такой реакции нужно, чтобы n раз произошло продолжение реакции и после этого произошел обрыв. Так как процессы продолжения и обрыва независимы, то по формуле умножения вероятностей для Р(n) — вероятности появления цепи длины n, т. е. содержащей n звеньев,— можем написать

Молекула полимера

Процесс полимеризации состоит в том, что к звену-мономеру присоединяется такой же мономер, к этому звену — еще один такой же мономер и т. д. Присоединение происходит с некоторой вероятностью р и, следовательно, не происходит с вероятностью q= I — р. Так как каждое следующее присоединение происходит независимо от предыдущих, то вероятность образования молекулы, содержащей n мономеров, как и в предыдущем примере, вычисляется по формуле

Параллельное соединение

Цепь последовательно соединенных приборов — один из крайних, наиболее простых типов соединений. Другим простейшим типом является параллельное соединение.

Рассмотрим участок цепи, содержащий два прибора А и В, соединенных параллельно (рис. 3). Предположим, что приборы работают независимо и Р(А) — вероятность прохождения сигнала по прибору А, а Р(В) — по прибору В. Например, сигнал проходит по прибору, если прибор исправен, и не проходит — в противном случае. Очевидно, сигнал пройдет, если будет исправен хотя бы один прибор. Таким образом, вероятность прохождения сигнала по участку цепи — это вероятность Р(А + В), где сумма А + В означает исправную работу хотя бы одного из приборов. Так как приборы работают независимо, то эту вероятность можно вычислить по формуле (1.13)

Например, если то

Можно поставить и обратную задачу. Предположим, что один из приборов — эталонный и вероятность его безотказной работы (т. е. вероятность прохождения по нему сигнала) известна. После испытаний установили вероятность прохождения сигнала по всему участку. Тогда из формулы (1.17) можно найти вероятность безотказной работы второго прибора. Например, если Р(А) = 0,8, Р(А + В) =0,95, то подставив это в (117), будем иметь

Отсюда

Если участок цепи состоит из п независимо работающих приборов, соединенных параллельно (рис. 4), и означает, что сигнал прошел по i-му прибору, т. е. что i-й прибор исправен, то вероятность прохождения сигнала по участку — это вероятность исправной работы хотя бы одного прибора, т. е. вероятность суммы Следовательно (см. п. 2, формула (1.8)),

В частности, если все вероятности равны то и

Видно, что даже при малой вероятности р, т. е. при q, близкой к единице, выбирая достаточно большое n можно сделать вероятность достаточно близкой к единице.

Параллельно соединенными могут работать не только приборы. Вместо разобранной схемы можно рассмотреть систему химических реакций, участки нервной или кровеносной систем и т. п.

Последовательные и параллельные соединения

В предыдущих пунктах мы рассмотрели порознь последовательные и параллельные соединения приборов и установили, как вычисляется вероятность прохождения сигнала по участку схемы в том и другом случае. На практике приходится иметь дело с различными сочетаниями соединений обоих типов. Рассмотрим два характерных примера.

Предположим, что сигнал проходит по участку схемы, состоящему из двух параллельных блоков А и В, первый из которых состоит из одного прибора А, а второй содержит два последовательно соединенных прибора (рис. 5, а). Пусть возможность отказа одного из приборов не зависит от работы остальных. Сигнал проходит, если хотя бы один из блоков исправен, а каждый из блоков выходит из строя, если хотя бы один из его приборов отказал.

Обозначим — вероятности безотказной рaботы соответствующих приборов, Р(В) — вероятность исправное блока В (вероятность исправности блока A, очевидно, равна Р(A) Р(А + В) — вероятность прохождения сигнала по цепи Тогда, иcпользуя формулы сложения и умножения вероятностей, можно записать

На практике чаще задается не вероятность безотказной работы а вероятность отказа, т е и т п Так как отказ и безотказная работа — взаимно противоположные события, и мы снова можем применить формулу (1 18)

Например, если Поэтому

Теперь предположим, что участок схемы состоит из двух последовательно соединенных блоков A и В, один из которых состоит из одного прибора А, а другой содержит два параллельно соединенных прибора (рис 5, б) Пусть по-прежнему приборы работают независимо Блок В выходит из строя, если отказали оба его прибора Сигнал проходит, если оба блока А и В исправны Обозначив Р(АВ) — вероятность прохождения сигнала по цепи и сохранив остальные обозначения для вероятностей, можем написать В частности, для данных предыдущего примера

Аналогично рассматриваются случаи, когда блок А состоит из двух или большего числа приборов, соединенных параллельно или последовательно, когда блоков более, чем два и т п

Разумеется, и в этом случае вместо приборов могут быть рассмотрены выходы химических реакций, жизнеспособность популяций и т п

Законы Менделя

Известно, что в простейших случаях передача некоторого признака по наследству зависит от определенного гена В половых клетках гены, отвечающие за некоторый признак, находятся парами Например, в клетках гороха имеется пара генов, отвечающих за окраску цветков потомства — красную и белую Эти гены могут находиться в двух состояниях — доминантном (обозначается буквой А) и рецессивном (обозначается буквой а) Поэтому пары генов могут быть такими

Выписанные возможности определяют генотипы данной особи: первый — доминантный, второй — смешанный, третий — рецессивный. Оказывается, что наследование признака зависит от генотипа особи. Например, для гороха красная окраска цветков — доминантный признак, а белая — рецессивный.

Экспериментально установлен I закон Менделя: особи доминантного и смешанного генотипов в фенотипе* обладают доминантным признаком, и только особи рецессивного генотипа в фенотипе обладают рецессивным признаком.

Согласно этому закону, для гороха особи доминантного и смешанного генотипов имеют красную окраску цветков и только особи с рецессивным генотипом имеют белые цветки.

Пусть имеется популяция чистых линий с генотипами АА и аа — поколение (родительские формы).

После скрещивания особей с генотипом АА с особями с генотипом аа поколения образуется поколение гибридов с генотипом Аа. Это поколение в генетике принято обозначать . В поколении других генотипов, кроме генотипа Аа, нет.

При случайном скрещивании особей поколения образуется поколение в котором одинаково часто встречаются 4 генотипа: АА, Аа, аА, аа.

Экспериментально получен II закон Менделя: в поколении происходит расщепление фенотипов в отношении 3:1 (3 части составляют особи с доминантным признаком в фенотипе, 1 часть приходится на особи с рецессивным признаком в фенотипе).

Из этого закона следует, что для поколения вероятность того, что в фенотипе особи проявляется доминантный признак, равна 3/4, а вероятность того, что в фенотипе особи проявится рецессивный признак, равна 1/4.

Закон Харди**

Пусть в популяции встречаются три генотипа: АА, Аа, аа. Доля особей генотипа АА равна u, доля особей генотипа Аа равна и доля особей генотипа аа равна w. Коротко будем говорить о структуре популяции и записывать ее так:

Под этим мы понимаем следующее: если популяция содержит N особей, то особей генотипа АА в ней uN, особей смешанного генотипа Аа в ней и особей рацессивного генотипа аа в ней wN. При этом, так как

то

Подсчитаем число генов А в популяции. Все особи доминантного генотипа имеют 2uN генов А (у каждой особи два гена А, и всех особей uN), особи смешанного генотипа имеют генов А (у каждой особи один ген А, и всех особей ), у особей рецессивного генотипа генов А нет. Следовательно, в популяции число доминантных генов А равно:

или, короче, 2Np, где

Число р имеет простой вероятностный смысл —это есть Р(А), т. е. вероятность того, что выбранный наудачу ген доминантен. Действительно, доминантных генов 2Np, и всех генов 2N (у каждой особи популяции два гена). Следовательно,

Аналогично подсчитывается, что число всех рецессивных генов а в популяции равно:

где

При этом число q имеет аналогичный вероятностный смысл:

Из вероятностного смысла чисел р и q, следует, что

(В этом можно убедиться и подстановкой значений р и q.) Заметим, что числа u, и w тоже имеют простой вероятностный смысл (подсчет аналогичен проведенному выше подсчету для доминантных генов):

(Р(АА) — вероятность того, что выбранная наудачу особь имеет генотип АА, аналогично Р(Аа) и Р(аа).)

Теперь определим, какова будет структура потомства. Пусть потомство имеет структуру:

(это понимается так же, как и при задании структуры популяции (1.19))- Подсчитаем Числа , есть вероятности того, что взятый наудачу потомок имеет соответственно генотип АА, Аа и аа (см. соответствующие формулы). Так как скрещивания происходят независимым образом, то вероятность может рассматриваться как вероятность следующего события’ выбрали наудачу и независимым образом из всего запаса два гена А. Так как выбрать каждый ген А можно с вероятностью р (формула (1.21), то в силу теоремы умножения вероятностей независимых событий (§ 1.3, п. 2) интересующая нас вероятность равна , т е.

Аналогично для получаем

Вероятность генотипа Аа в популяции потомков складывается из двух возможностей — либо ген А получен от отца, а ген а от матери, либо ген А получен от матери, а ген а от отца — соответствующие вероятности есть pq и qp. Следовательно, вероятность генотипа Аа в популяции потомков равна 2pq, т. е. Отсюда

Следовательно, структура потомства имеет следующий, вид:

Самое замечательное состоит в том, что если для потомства взять , как это делалось для родителей, то получим те же самые числа р и q. Действительно, согласно полученным Формулам, имеем:

Так как структура потомства вычислена только с использованием Этих сумм, то потомки популяции также будут иметь ту же структуру. При этом говорят, что рассчитанная структура стационарна, т.е. от поколения к поколению не меняется.

Этот замечательный факт, что со второго поколения устанавливается стационарная структура популяции, является непосредственным обобщением второго закона Менделя и называется законом Харди.

На практике возможно отклонение, однако для больших популяций закон Харди остается в силе.

Для гороха вероятность получения белой особи равна (рецессивный признак), вероятность получения красной особи равна 1 — (как для противоположного события) и отношение числа красных и белых особей равно

Для описанного в пункте 1 случая , и мы опять получаем 3: 1 (см. II закон Менделя).

Решение заданий и задач по предметам:

• Теория вероятностей
• Математическая статистика

Дополнительные лекции по теории вероятностей:

1. Случайные величины
2. Функции случайных величин
3. Числовые характеристики случайных величин
4. Законы больших чисел
5. Статистические оценки
6. Статистическая проверка гипотез
7. Статистическое исследование зависимостей
8. Теории игр
9. Вероятность события
10. Теорема умножения вероятностей
11. Формула полной вероятности
12. Теорема о повторении опытов
13. Нормальный закон распределения
14. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных
15. Системы случайных величин
16. Нормальный закон распределения для системы случайных величин
17. Вероятностное пространство
18. Классическое определение вероятности
19. Геометрическая вероятность
20. Условная вероятность
21. Схема Бернулли
22. Многомерные случайные величины
23. Предельные теоремы теории вероятностей
24. Оценки неизвестных параметров
25. Генеральная совокупность