Оглавление:
Определения
Систему уравнений вида

называют системой линейных уравнений с
неизвестными.
называют коэффициентами этих уравнений, которые записываются в виде матрицы (матрица системы):

Числа, стоящие в правых частях уравнений, обозначают столбцом , называемым столбцом свободных членов.
Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов.
называется расширенной матрицей системы:

Нашу систему уравнений можно записать в матричной форме , где
Если все свободные члены равны нулю, то систему называют однородной.
Совокупность чисел (
) называется решением системы (1), если каждое ее уравнение обращается в числовое равенство после подстановки в него чисел
, вместо соответствующих неизвестных
для всех
.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а не имеющая — несовместной.
Решение называется тривиальным, если нулевой вектор является решением системы.
Решение систем линейных уравнений с
неизвестными с помощью формул Крамера.
Для простоты рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным и обозначается символом , т.е.

Вспомогательные определители системы для вычисления переменных :

Нетрудно увидеть закономерность при составлении вспомогательных определителей!
Теорема Крамера
1) Если главный определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение. Это решение находится по формулам .
2) Если главный определитель системы равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю, то такая система не имеет решения (несовместна).
3) Если главный определитель системы равен нулю и все вспомогательные определители равны нулю т. е. , то такая система имеет бесчисленное множество решений.
Пример 1.
Решить систему уравнений

Решение:
По теореме Крамера имеем .

Определитель матрицы системы отличен от нуля. Следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители системы:

Ответ: .
Если определитель однородной системы не равен нулю (
), то эта система имеет только тривиальное решение.
Если однородная система уравнений имеет нетривиальное решение, то ее определитель равен нулю.
Решение двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными

когда хотя бы один из миноров 2-го порядка отличен от нуля удобно искать по формулам:

где — произвольное число.
Теорема Кронекера — Капелли
Неоднородная система линейных уравнений совместна тогда, и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы
.
Следствие. Если ранг матрицы не равен рангу матрицы
, то система не имеет решений (она несовместна).
Пример 2.
Определить совместны ли системы:

Решение:
а) система совместна, т.к.
.
б) .
Найдем ранг матрицы. Вычитаем из второй строки первую, а потом вычеркиваем нулевую строку:

Найдем ранг расширенной матрицы. Вычитаем из второй строки первую, а потом переставляем 2-й и 3-й столбцы местами:

Так как , то система несовместна.
Ответ: а) система совместна, б) система несовместна.
Метод последовательных исключений Жордана — Гаусса
С помощью элементарных преобразований строк расширенная матрица системы приводится к треугольному виду. Обычно нули получают ниже главной диагонали.
При решении методом Жордана — Гаусса системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными после приведения расширенной матрицы системы к треугольному виду получится:
а) , где
(система будет иметь единственное решение);
б) , где
(система будет несовместной);
в) (система будет иметь множество решений).
Задача:
Используя теорему Кронекера — Капелли, доказать совместность системы линейных уравнений и решить её двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение:
Найдем ранг матрицы системы методом окаймляющих миноров.
Рассмотрим минор . Найдем определитель матрицы системы:

Ранг расширенной матрицы системы также равен трем, поскольку система содержит три уравнения, а ранг матрицы системы равен трем. Следовательно, согласно теореме Кронекера — Капелли, система совместна.
Первый способ решения (метод Гаусса):
Умножим первую строку на (-2) и результат прибавим ко второй, потом умножим первую строку на (-3) и результат прибавим к третьей:

Разделим вторую строку на 5, потом умножим ее на (-9) и результат прибавили к третьей:

Из последней матрицы имеем
Второй способ решения:
Найдем алгебраические дополнения матрицы системы:

Запишем присоединенную матрицу и транспонируем ее:

Решение системы:

Ответ:
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Определители матрицы: алгоритм, примеры вычисления |
Матрицы. Операции над матрицами |
Векторная алгебра: основные понятия и определения |
Проекция вектора на ось |