Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел
(
,
)

состоящая из строк и
столбцов.
Элементы называются элементами матрицы; элемент расположен в
-й строке и в
-м столбце данной матрицы;
— число строк,
— число столбцов.
Матрица размера называется столбцом, матрица размера
— строкой.
Матрица размера называется квадратной матрицей порядка
.
Квадратная матрица называется:
а) треугольной, если все элементы по одну сторону от главной или
побочной диагоналей равны нулю, например: ;
б) диагональной, если для все
, т.е.
;
в) единичной матрицей , на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.
Приведем пример единичной матрицы 3-го порядка:

Для любой квадратной матрицы порядка

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю
.
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю
.
Матрица называется обратной к невырожденной матрице
, если

Если в матрице заменить строки соответствующими столбцами, то получится транспонированная матрица
.
Квадратная матрица называется симметрической, если
.
Матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы
, называется присоединенной к матрице
.
Обратную матрицу можно найти с помощью присоединенной матрицы:

Для матрицы размера 3×3:
.
Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.
Операции над матрицами
1. Две матрицы и
размера
равны тогда и только тогда, когда
для всех
и
.
2. Суммой двух матриц
и
размера
называется матрица
того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матрицы
и
:

3. Произведением матрицы
размера
на число
называется матрица
того же размера, получающаяся из матрицы
умножением всех ее элементов на число
:

4. Произведением матрицы
размера
на матрицу
размера
называется матрица
размера
, элемент которой
равен сумме произведений соответственных элементов
-й строки матрицы
и
-го столбца матрицы
:

где
В каждом произведении матриц число
столбцов матрицы
должно равняться числу строк матрицы
.
Максимальный порядок отличного от нуля миноров матрицы
называется ее рангом (
).
Приведем два способа вычисления ранга матрицы:
- Используется для матрицы малых размеров. Выбирается произвольно какой-либо минор второго порядка матрицы. Если он отличен от нуля, то выбирается минор третьего порядка, в который входит выбранный ранее минор второго порядка и т. д. Этот метод называется методом окаймляющих миноров.
- С помощью элементарных преобразований приводят матрицу к треугольному виду.
Элементарные операции над строками (столбцами) матрицы не меняют ее ранга:
- Перестановка строк (столбцов) местами.
- Умножение любой строки (столбца) на число, отличное от нуля.
- Прибавление к одной строке (столбца) другой, умноженной на число.
- Вычеркивание нулевой строки (столбца).
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Системы линейных уравнений |
Векторная алгебра: основные понятия и определения |
Определители матрицы: алгоритм, примеры вычисления |
Ряды в высшей математике |