Оглавление:
Определения
Систему уравнений вида
называют системой 
линейных уравнений с 
неизвестными. 
называют коэффициентами этих уравнений, которые записываются в виде матрицы (матрица системы):
Числа, стоящие в правых частях уравнений, обозначают столбцом 
, называемым столбцом свободных членов.
Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов.
называется расширенной матрицей системы:
Нашу систему уравнений можно записать в матричной форме 
, где 
Если все свободные члены равны нулю, то систему называют однородной.
Совокупность чисел (
) называется решением системы (1), если каждое ее уравнение обращается в числовое равенство после подстановки в него чисел 
, вместо соответствующих неизвестных 
для всех 
.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а не имеющая — несовместной.
Решение называется тривиальным, если нулевой вектор 
является решением системы.
Решение систем линейных уравнений с неизвестными с помощью формул Крамера.
Для простоты рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: 
Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным и обозначается символом 
, т.е.
Вспомогательные определители системы для вычисления переменных 
:
Нетрудно увидеть закономерность при составлении вспомогательных определителей!
Теорема Крамера
1) Если главный определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение. Это решение находится по формулам 
.
2) Если главный определитель системы равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю, то такая система не имеет решения (несовместна).
3) Если главный определитель системы равен нулю и все вспомогательные определители равны нулю т. е. 
, то такая система имеет бесчисленное множество решений.
Пример 1.
Решить систему уравнений
Решение:
По теореме Крамера имеем .
Определитель матрицы системы отличен от нуля. Следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители системы:
Ответ: 
.
Если определитель однородной системы не равен нулю (
), то эта система имеет только тривиальное решение.
Если однородная система уравнений имеет нетривиальное решение, то ее определитель равен нулю.
Решение двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными
когда хотя бы один из миноров 2-го порядка отличен от нуля удобно искать по формулам:
где 
— произвольное число.
Теорема Кронекера — Капелли
Неоднородная система линейных уравнений совместна тогда, и только тогда, когда ранг матрицы системы 
равен рангу расширенной матрицы системы 
.
Следствие. Если ранг матрицы не равен рангу матрицы , то система не имеет решений (она несовместна).
Пример 2.
Определить совместны ли системы:
Решение:
а) 
система совместна, т.к. 
.
б) 
.
Найдем ранг матрицы. Вычитаем из второй строки первую, а потом вычеркиваем нулевую строку:
Найдем ранг расширенной матрицы. Вычитаем из второй строки первую, а потом переставляем 2-й и 3-й столбцы местами:
Так как 
, то система несовместна.
Ответ: а) система совместна, б) система несовместна.
Метод последовательных исключений Жордана — Гаусса
С помощью элементарных преобразований строк расширенная матрица системы приводится к треугольному виду. Обычно нули получают ниже главной диагонали.
При решении методом Жордана — Гаусса системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными после приведения расширенной матрицы системы к треугольному виду получится:
а) 
, где 
(система будет иметь единственное решение);
б) 
, где 
(система будет несовместной);
в) 
(система будет иметь множество решений).
Задача:
Используя теорему Кронекера — Капелли, доказать совместность системы линейных уравнений и решить её двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
Решение:
Найдем ранг 
матрицы системы методом окаймляющих миноров.
Рассмотрим минор 
. Найдем определитель матрицы системы:
Ранг расширенной матрицы системы также равен трем, поскольку система содержит три уравнения, а ранг матрицы системы равен трем. Следовательно, согласно теореме Кронекера — Капелли, система совместна.
Первый способ решения (метод Гаусса):
Умножим первую строку на (-2) и результат прибавим ко второй, потом умножим первую строку на (-3) и результат прибавим к третьей:
Разделим вторую строку на 5, потом умножим ее на (-9) и результат прибавили к третьей:
Из последней матрицы имеем 
Второй способ решения:
Найдем алгебраические дополнения матрицы системы:
Запишем присоединенную матрицу и транспонируем ее:
Решение системы:
Ответ: 
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Определители матрицы: алгоритм, примеры вычисления |
| Матрицы. Операции над матрицами |
| Векторная алгебра: основные понятия и определения |
| Проекция вектора на ось |
