Оглавление:
Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей
- Разложите обычные рациональные дроби на сумму простейших дробей. Р А Т и о н а л ь н о й дробью называется отношение двух алгебраических многочленов. Это соотношение коэффициентов алгебраических полиномов С В Е Н н ы м (такое число Р А Ц и о н а л ь н о й д р О Б Ы Е С Т В Е Н н о ф ф и С Е Н К О Ф). Ее называют рациональной дроби-п р АВ и ВН о й.(%) Степень многочлена P(x)в числителе меньше степени многочлена Q (x)в знаменателе. В противном случае рациональная дробь называется n e N R a b и l n o y. Доказали два адъюнкт-теоретика. R (h) L em m1. Пусть — — — — — —
положительной рациональной дробью является Q (x), знаменатель кратности Q (x) по корням a имеет вещественный коэффициент с вещественным числом a, т. е.. Q (x)=(x-a) AF(x), где f(a)=^=0. (8.35) к этой дроби применяется следующее выражение: R (h)_ _ _ A___, f (h)_ _ /o ZB М(х) (х-а) (х-а)~к F(х)’. A равно вещественной константе, а k-целое число, удовлетворяющее условию Ибо тогда В этом a= — ^L , f (a) * f (x) — многочлен с коэффициентами вещественных чисел такой, что последняя дробь(8.36) справа является дробью простых чисел.
Д О К а з а т е л ь с Т В О. он представляет собой по.- Действительное число A=—, учитывая разницу F (a) Если * F (a)#=0, то число A всегда Людмила Фирмаль
определяется(8.35).§3. Класс 313 интегрируемых функций в базовой функции P (x)_ _ _ _ и Q (x) (x-a)»‘ Если мы примем эту разницу к общему знаменателю、 R (x)_ _ _ _ A_R(x) — 4F (x) f (x)Q (x)»(x-a) a f(x)) Где f(x) представляет собой многочлен с коэффициентами вида f(x)=P(x)—DF (x). Так как F(a)=P(a)—Aq>(a) — P(d), то целое число a является корнем некоторого многочлена f (z;).Кратность y>1. Это означает, что f (a) t^0 (8.38)по вещественным коэффициентам является представлением, которое верно- (х-а) Ф(Х) * реальный» < p (a) = O, < p (a) (8.37)) Коэффициенты-трансляция- Ф(Х)=(Х-а)МФ(Х),ф (х)является полиномом с Тами. Включить представление (8.38)、 Р (З) ___ М(Х)(Х-а)»(х—а)~к<р(х)’ Таким образом, выражение (8.36) доказано.
Необходимо только убедиться, что выстрел, стоящий справа от (8.39), является правильным, что сразу же доказывает тот факт, что разница между двумя правильными рациональными дробями является соответствующей рациональной дробью, Лемма 1. P (h) Л е м м А2. —- Регулярная рациональная дробь с вещественным коэффициентом, в которой знаменатель Q (x) имеет комплексные числа a=u+iv и a=I-iv по корням кратности Z; Q (x)=(x2+p x+q)\p (x), гдеMx+Н___ _ _ _ Х Х) М М (Х2+РХ+г) к(Х2+модели PX4-?X-fe(x)’ В этом представлении M и N — некоторые вещественные константы, k-целое число>1, f (x) — многочлен с вещественным коэффициентом, таким что последняя дробь (8.41) справа является правильной.314 ГЛ. 8. Первичные и
- неопределенные интегралы Д О К а з а т е л ь с т в о. согласитесь, что действительной частью комплексной величины а является символ Re[L], а мнимой частью комплексной величины а-символ Im[L]. Положить * г ПВ1,(в=ре Г П («) 1 » им г Л ф(а) j в Л < П (О) J в Нетрудно проверить, что указанные M и N являются следующими выражениями: Решение P (a)—(M a+N)^(a)=0. (8.42)фактически, если разделить это уравнение на1 по комплексному числу a, отсюда теорема 8.3 и его сопряженное число a. в этом случае многочлен f(x)=(x2+px+<7) * f(x), (8.44)’, где f(x) — многочлен с коэффициентами вещественных чисел, без корня числа a и без корня A.To вставляем выражение в выражение (8.44)(8.43), представляем Дело в том, что
последняя часть (8.41), стоящая справа, правильная、— — ‘ ——- ——две правильные дроби. Лемма 2 доказана. Последовательное применение леммы 1 Эта дробь равна разнице, 2 равно дроби Благодаря(8.40) Метод, показанный для нахождения правильного разложения рациональной фракции, называется m eto d o m n e R e n y x K o f i c I e N t O V. нет необходимости доказывать разрешимость системы уравнений, полученной в результате применения этого метода, разрешимость следует теореме 8.4. 2°. Поясним метод неопределенных коэффициентов в другом•примере. Нам нужно найти правильное разложение фракции ZX4-R2×3+Zx2-1(x-2) (x2+1) 2•. ‘ Поскольку тернарная формула x2+1 квадрата имеет комплексные корни, разложим по теореме 8.4 в следующем виде ЗХ4+2х3-п.Zx2-1
по M1X+N1MjX+н(х-2)(Х2+я) 2-х-2+Х2+1+(Х2 4-1) 2′ Последнее уравнение Людмила Фирмаль
приводит к общему знаменателю, затем сравнивает числитель. Получить 3×4+2×2+3×2-1==B (x4+2×2+1)+(AfiX+M) (X3-2×2+x-2)+(M2x+N2) (x-2). Если сравнить коэффициенты X°, x1, x2, X3 и x4, то получится система уравнений B+Mu-3,=2 , {2B+M1-2N1+Mi=3,Nr-2M1+N2-2L42=0,B — 2N\ — 2N2=-1.§3. Класс функций, интегрируемых в элементарных функция 317 Решая эту систему, находим B=3, M}=0, Ni=2, Af2=l, LG2=0. ZX4+2×3+Zx2-1=3xx(x-2) (x2+1)2x-2×2+1+(x2+1) 2′(8.50} 3°. Как видно из возможных примеров, метод неопределенных коэффициентов достаточно трудоемкий. Поэтому попробуем найти другой, более простой способ нахождения правильной рациональной дроби при разложении коэффициентов на сумму простейших.- Р М Число Q (x)
положительной рациональной дроби -5 имеет вещественное число-Q (x) целое число a в качестве корня кратности A. среди простейших дробей сумма делится на дроби и дробь отображается Но (х-)“ (8.51)) Мы покажем очень простой способ вычисления коэффициента A для этой простой фракции. Убедитесь, что коэффициенты A равны, включив лемму 1 и уравнение (8.36 A_P (a)Q (a)’ Где f (x)<?(*) (х-а) Мы приходим к следующему правилу: вычислить отношение простейшей дроби (8.51), соответствующей действительному корню многочлена Q (x) кратности a, знаменателю R (x)-скобке (x-a) и оставшемуся члену (X-a) — знаменателю R (x). Этот метод получения этого коэффициента
обычно называют методом с Ч Е Р К и А Н И я. заметим, что этот метод применим только для вычисления коэффициентов с более высокой степенью простейшей дроби, соответствующей действительному корню Q (x). Метод вычеркивания особенно полезен, когда знаменатель Q(x) имеет только один действительный корень, Q(x)=(x-a) (X-A2)…(x вверх). И, как мы знаем, разложение верно + — _А Л+. . . +. . . Ля+. . . +^k_Q(x)x-AG X-A2x-ak x-AP’
Смотрите также:
