Промежуток сходимости степенного ряда

Оглавление:

Промежуток сходимости степенного ряда

Промежуток сходимости степенного ряда. Теория, представленная в предыдущем разделе, просто находит важное применение для изучения свойств ряда, которые должны лежать либо в степени переменной x, либо, в общем случае, в степени бинома x-x0. Ноль ноль 2 (х-лго) л = 2О + М * * О)+ + С (Р-Л; О) Л + …(2） л = о (А0, АИ А2,…Здесь мы имеем в виду постоянный коэффициент).Такая серия уже встречалась не раз в конкретном случае (в частности, см.§ 6 в XV главе).Затем, так сказать, изучите в общей форме выражение этой самой аналитической функции. Ряд(2)сводится к(1) путем изменения переменных, поэтому вы, очевидно, можете ограничить его рядом(1). Сначала рассмотрим структуру «области сходимости» степенного ряда, то есть множества 3. = {x \значения переменной x = x, где сходится ряд (1).Путь к этому открывается Лемма.

Но в дополнение к этому существуют ряды, которые не должны сходиться со значением x. Людмила Фирмаль

Если Ряд (1) сходится со значением x = x, отличным от 0, то он полностью сходится с любым значением x, удовлетворяющим неравенству. | икс./^|^| Из сходимости ряда： И 2 aphn = wo / a1x a ^ X -| -…|anhn -| -… л = о Его общий знаменатель стремится к 0 [n°23b, 5°], что ограничивает его[ps 33, 5）]： \ alYa * \ M (i = 0, 1, 2,…это не так. (3） Теперь возьмите любой xy| x | / / / / X |и так далее Плавание колонки 2 я я = я°01 «Я a1dg1-я, т. е. * * * я * * *» я арх я-Р * * * (4） ОУП Так как[см. 3）]： / / / = Кял |Член (4) ряда меньше соответствующего члена сходящегося геометрического ряда (знаменателя икс_ Икс М \ М Микс_ н. Объем согласно теореме 1 n°237, ряд (4) converges. In в этом случае, как известно, ряд(1) полностью сходится по мере необходимости. Когда l; = 0, очевидно, все ряды (1) сходятся.

An примером такой серии «вилка везде» является、 И живая строка 2l!* » .Это、 Я Кадарен фата. Такая серия нас не интересует. Для ряда (1) мы предполагаем, что сходящаяся переменная имеет значение x, отличное от 0. L/}; он связан или включен. В последнем случае вам нужно найти x, независимо от значения x. x | [/L |и с Леммой, для данного значения x, ряд сходится completely. It получается, что сериал «сходится везде». Теперь мы связываем множество {/X/} и делаем # его точной верхней границей (0 [^ ^ oo). | .в случае;|]># это значение X явно отличается от всего, и серии diverges. By определение、 Для точной границы[n°6]вам нужно найти мне нравится следующее| A: / ^ | / / X / ^ I; и это сопровождается Леммой, опять же с абсолютной сходимостью ряда(1).

Таким образом, общие Теорема для каждого степенного ряда (1), пока он никуда не расходится, существует положительная кислота K (roo также может быть). Серия | A; сходится абсолютно. А серия| lg/]>/? (Для D ^ oo). Это число называется радиусом сходимости ряда. Таким образом, была решена задача о «зоне сходимости» серии 5С. Это от-я/?Он представляет собой непрерывный промежуток времени между ними. Только о его конце нельзя составить общее мнение statement. As вы можете видеть из примера, что там вы можете сделать как конвергенцию (абсолютную или нет), так и дивергенцию. Интервал 5% называется интервалом сходимости рядов. Для ряда, который расходится везде, берется Я= 0.Его «интервал сходимости» сводится к точке x = 0.

Пример 1) о числе / ? = co, интервал сходимости (c», + co) [n°253]. 2) прогресс 1 + E Н-1 # = 1, интервал сходимости (-1,+1): оба конца не включены. имеет?= 1, интервал сходимости[-1,+оба: оба конца включены, но сходимость не является абсолютной. Я(н°255). 4) о количестве Ноль ноль н 2(-1) » −1 l =■1 / ?= 1, интервал сходимости (-1, C-I]: левый конец не включается, правый-ряд сходится к неабсолютному[n°256]. 5) Наконец, рассмотрим серию 2Л на Л8 L = I Опять же, H = 1, интервал сходимости[-1,+Ч » P * D сходится полностью Ноль ноль Но в конце(для сходимости ряда Все вышесказанное справедливо для общего ряда(2), только роль точки 0 играет точка x$: интервал сходимости расширяется от xa-до до x0/ |(в зависимости от случая, с выходом или без выхода). Замечания.

Поэтому здесь отображается круг сходимости, а не интервал сходимости, и становится понятным происхождение названия радиуса сходимости. Людмила Фирмаль

Повторите приведенные выше соображения для нескольких пунктов И (1А） 3) строку Ноль ноль 2 (о — L = 1 Д-ГЛ-1 2р-1 2 sagn = c0 + c1r + cr2 + … + xa2l + … | Л-О-О. Поскольку комплексная переменная[n * 254] находится в степени комплексной переменной 2, то можно видеть, что теорема справедлива и для такого ряда. Для каждой серии (1a) (если исключить дивергенцию везде) существует число/? / г / идти Абсолютно сходится, но расходится в| R|>#.Но в «комплексной плоскости» есть следующие точки: G|;#, заполните окружность радиусом K (2 = 0 в качестве центра).

Почленное дифференцирование рядов.	Непрерывность суммы степенного ряда.
Пример непрерывной функции без производной.	Непрерывность на конце промежутка сходимости.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.