Оглавление:
Производные второго порядка
- Вторичные производные. Рассмотрим дифференцируемое отображение F: Ni — ^N2. Мы уже знаем, что производная этого отображения для всех фиксированных xe / Vi обозначается знаком F'(X), где F'(X)-элемент пространства(Ni-+N2) — производная F'(x) называется отображением f ‘(X), а символ F ‘обозначается символом F’. Для всех фиксированных x отображение F » (x) явно является элементом пространства (Ni--(N i--N2)) — пространства линейного ограниченного оператора, действующего от Vi до (Nr+N2). Этот
элемент пространства допускает другую интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений.Дополнение 3 593 Отображение (Ni — * — N2), которое отображает нормализованное пространство N2 в нормализованное пространство N2, где каждой упорядоченной паре элементов (XY y S)*>из LL соответствует элемент B (xlt # i) из N2.: * Пары элементов x и y называются y p o d o h e n n o y, и если они указаны, ka — » OI этого элемента является первым. Если элемент x является первым элементом в паре, а элемент
y-вторым элементом, то упорядоченная пара записывается следующим образом: (x, y). 1. Для любого xh yi, X2, Y2 из L/i и любого числа a и 0 Людмила Фирмаль
уравнение b (axi+0x2, g/1)=AB (XY z/j)+0B (x2,z/i), B(X Y AG/1+0g/2)=AB(XY GD)+0B(x g/2). 2. Существует положительное число M, CV (x, Y) II11x11111 / 11 Все X, y, LL. Первое из этих условий означает, что билинейное отображение в линейно для каждого из двух аргументов. Второе условие означает, что билинейное отображение ограничено. Как и в случае линейного отображения (см. Приложение 1), ограниченное билинейное отображение уже показано смежным по всем его аргументам. CV (x, y) II C-Mccc наименьшая из констант M,
удовлетворяющих условиям IUC, называется нормой, обозначаемой через b и l I n e y n o g o In и знаком| / In / / от изображения. Таким же образом, как и линейная операция (см. Приложение 1), в билинейной операции, помещая (Bi+B2) (x, y)=B(x, y)++B2 (y), норма двух билинейных отображений также определяется для B, так что билинейная операция билинейного (e) e nn e nn e nn E NN E nn e nn e nn e NN e NN e NN e NN e NN e NN e NN e NN e NN преобразованные в один элемент пространства L’2 картой b, два элемента из
- пространства Ni преобразуются в один элемент пространства L’2)（ Как и в случае линейных отображений, если пространство N2 является Банаховым (done), показано, что пространство (M2-«/Y2) будет Банаховым(см. Приложение 1).594 Канал 12. Функции некоторых переменных Докажем, что между элементами пространства (l^1~>■(A^i — » — l^2)) и пространства (M2 — >4V2) может быть установлено взаимно однозначное соответствие, содержащее линейную операцию(т. е. элемент 4 1E(L^-DAL-hV2))$, a и p — произвольные числа b2). D e y S T V и t e l L n o, AE*-((MM—
>Y2)>согласно правилу (Nt2 — +N2)элемент B будет соответствовать каждому элементу * Соответствие между двумя порядковыми пространствами, содержащими норму соответствующих элементов, называется zo m e t R и h n s m. подчеркнем, что нормы взяты в соответствующем пространстве. In (x, y)=(Ah) y. Это соответствие явно линейно. У нас есть это соответствие * элементов, а именно мы показываем его||4|| = / / D//. Поэтому, в частности, следует взаимная уникальность общения. Фактически, когда два различных элемента изометрического соответствия входят в один элемент, разность соответствует нулевому элементу.
Нормой этой разности является норма нулевых элементов, то есть ноль. Таким образом, элементы Людмила Фирмаль
совпадают, что противоречит их выбору. Итак, если элемент l e (Nr->(/Vi-hhV2)) соответствует элементу D e (L’12->LG2), то||41|=||B||доказывает, что норма элемента берется в соответствующем пространстве. Пусть z=B(x, y)=(Ah) y. тогда||2|| < / / 4x| / / / y / / < / 4II11x11\ \ Yii, Откуда он взялся IIBUII4H. С другой стороны, учитывая билинейное отображение, для фиксированного X e D отображение y — >-(Ah)y=In (x, y) является линейным отображением пространства N1 из N2. Таким образом, каждому xe/Vj соответствует элемент пространства(LD-h» — LL2). Очевидно, что Ah линейно зависит от x, т. е. билинейное отображение B определяет 4 элемента некоторого пространства (LT-EDL^ — ^L/g). В то же время изображение B
восстанавливается по формуле 4, используя следующую формулу In (x, y)=(Ah) y. В дальнейшем, | / 4x / / = sup|/(4x) y=sup / / / In (x, y) / To / / / / / / / / / / x|/. IwIKi1I<1completion3 595* И так оно и есть., 11L;n к||. Итак, из соотношения| / / V / / < / / L / / и C / / < / / / V / / / 、 // L//=/!В|/. Таким образом, доказывается, что соответствие между пространством (/Vi->(^- >Ar2)) и (L/i2->Y2) линейно и изометрично. Таким образом, изображение пространства (/х «ручьи» -<-(HV2 Иви^)) в такие переписки-это все пространство(У12->У2)-это утверждение доказано. Из доказанного утверждения всегда можно указать, что изображение с пробелом, если какой-либо элемент пространства берется(M2 — >L’2)
. Кроме того, норма элемента в исходном пространстве и норма его изображения совпадают. Линейные операции также сохраняются для соответствия, построенного с пространством [(M — ^LGG)) и(L^]2 — * — yV2). Такие пространства невозможно различить. Эти пространства имеют разную природу по отношению к своим элементам, а все остальные характеристики пространства (./Vi — » —>Y2)) и (M2^Y2) — это одно и то же. * Мы, естественно, подразумеваем, что Et и EP выбраны для пространства. Эт конкретная реализация элементов пространства, ЭП может быть «произвольной». В частности, я обнаружил, что вторая производная F»(x) отображения F: Ni->N2 является элементом пространства(Ad — <-(A/’i=>; V2)). Вы можете думать о F»(x) как об элементе пространства (/Vi2 — > / V2), просто следуя тому, что было сказано)
Смотрите также:
